计算方法课件 1.4 三次样条插值.pptVIP

本节内容提要 分段线性插值 方法概述、几何意义、误差估计　　　 三次样条插值 §1.3 三次样条插值 一、分段线性插值 方法概述： 分段线性插值函数 几何意义： 误差估计： —— 只依赖于二阶导函数的界 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在区间[a,b]上连续; (2) ?(x)在每个子区间[x i ,x i+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数为m的多项式; 则称?(x)是 f(x)在[a,b]上的分段m次插值多项式。 m =1称为分段线性插值 m =2称为分段抛物线插值 分段插值多项式 优点：收敛性好，计算简单；亦可根据其具体情况在不 同区间上采用不同次数的插值公式； 缺点：分段函数虽然在节点处连续但未必可导，因而光 滑度较差。 克服方法 —— 三次样条插值 二、三次样条插值函数 ——分段三次插值多项式 分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,即导数不连续。 实际应用中，如机翼设计、船体放样等往往要求有二阶光滑度，即二阶连续导数。早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条SPLINE ）用压铁固定在样点上，其它地方让其自由弯曲，然后画下曲线（称为样条曲线），它实际上是由分段多项式光滑连接而成，在样点上要求二阶连续可导。 样条函数的定义 设f(x)是区间[a,b]上的一个连续可微函数,在区间[a,b]上给定一组基点: a=x0x1x2???xn=b 设函数s(x)满足条件 (1) s(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数不超过m的多项式; (2) s(x)在区间[a , b]上有m -1阶连续导数; 则称s (x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1，x2, ???称为样条结点,其中x1,???, xn-1称为内结点, x0 , xn 称为边界结点。当m =3时,便成为最常用的三次样条函数。 分段三次Hermite插值 三次样条函数的构造 记Mi = s″(xi), f(xi)= yi ,考虑它在任一区间[xi, xi+1]上的形式. 根据三次样条的定义可知 , s(x)的二阶导数 s ″(x)在每一个子区间[xi, xi+1] ( i=0,1,2,???,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi, xi+1] 上S(x)=Si (x)的二阶导数表示成 其中 hi= xi+1–xi . 对s″(x)连续积分两次,并利用插值条件s(xi)= yi ,得到 三弯矩插值法 x xi, x i+1 s”(x) M i , M i+1 因此，只要能求出所有的{Mi}，就能求出样条插值函数s(x). 下面考虑Mi的求法 三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题(i ＝１,２，3)． 可以证明第i型插值问题的解是存在且唯一的。 对应如下的三对角方程组： 2 λ0 M0 d0 μ1 2 λ1 M1 d1 . . . . . . . . . = . (*) . . . . . μn-1 2 λn-1 Mn-1 dn-1 μn 2 Mn dn 解出未知参数M0，M1 ,……,Mn，然后代入s(x) 表达式，即可求得样条函数 。 上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩，每一个方程中又至多出现相邻的三个