计算方法课件 5.3Newton法与割线法.pptVIP

本节内容提要 Newton法 基本思想、算法、几何意义、局部收敛性 以及收敛速度、修正Newton公式、大范围 收敛的充分条件 割线法 方法概述、几何意义、算法、收敛性　　　　　　 §5.3 Newton法与割线法 以直代曲 Newton法  ——以切线近似代替曲线 1、方法概述 迭代法在求方程的根时，迭代函数的构造将会影响到迭 代序列的敛散性及收敛速度的快慢，如何构造一个好的迭代 函数显得尤为重要；构造迭代函数的常用方法之一是用一个 近似方程来替代原方程，如：用线性方程代替非线性方程； Newton法正是基于这一点，将非线性方程线性化。 基本思想： ——线性方程 例1： 解： 特点：具有较快的收敛速度，但对初值要求较高， 要求 充分接近 。 2、算法 3、几何解释 ——切线近似替代曲线?? 即是以切线与X轴的交点近 似替代曲线与X轴的交点， 因而又称切线法。 ——最著名、最有 效的方法之一 4、局部收敛性以及收敛速度 一般来说，Newton法产生的序列不总是收敛的，易知， 当 时，切线趋于水平，与X轴在很远处相交，这时 序列常为发散情形，往往需要对 附加一些条件才能保 证收敛；而实际上，当 充分接近 时，能保证Newton法 的收敛，亦即具有局部收敛性。 Ⅰ、单根的情形 结论1： 分析： 证明： Ⅱ、重根的情形 结论2： 证明： = m m m m 5*、求重根的修正Newton公式——目的加速 ⑴ ⑵ 缺点：虽然敛速增加，但计算时每迭代一步需计算 三次函数值： ，计算量增大！ 注： 证明： 例2： 解：① ② ——敛速有极大改善 6、大范围收敛的充分条件 Th* ： 例3： 证明： 注：该题亦可直接证得大范围收敛。 ——配方法 割线法 ——以割线近似代替曲线 1、方法概述 Newton法虽然具有较快的收敛速度（二阶），但每迭 代一次均需计算 及 ，若函数较复杂，计算导数 值可能工作量很大；为此考虑用差商： 来替代导数，这一思想实际上体现了以割线近似替代曲线。 ——称割线法或线性插值法 ——线性方程 多步法 2、割线法的几何意义 3、算法 注：step6中的数据传递次序不能颠倒！ 4、割线法的收敛性与收敛速度 结论：局部收敛： 收敛阶数： 注：类似还可以从三个初始点出发，以过三点的抛物线 近似替代曲线，得抛物线法。 ——超线性收敛 例4： 解： 可见其收敛速度还是很快的 * * * *