计算方法课件 7.1 插值型求积公式.ppt

* * 第七章 数值积分与数值微分 本章内容 §7.1 插值型求积公式 §7.2 复化求积公式 §7.3 Gauss型积分 §7.4 数值微分 实际问题中，往往需要计算定积分 问题的提出 Newton-Leibniz公式： ， 困难：① 某些函数的原函数不能用初等函数来表示； 如： 等； ② 简单，但 过于复杂，不便计算； ③ 以数据形式给出。 数值方法 由 由积分中值定理： 定积分的值可能期望用被积函数的值来直接决定，只需 给出平均值： 的某种近似算法，便能相应地获得一种数值积分方法。 基本思想 ，可见 如： 梯形公式 中矩形公式 机械求积 ——求积节点 ——求积系数，亦称伴随节点 的权 类比： 分类：① 插值型求积公式： — 插值多项式 ② 外推型求积公式：由低阶精度公式的线性组合 构造高阶； — 机械求积 — 定积分定义 本节内容提要 方法概述 Newton-Cotes公式 梯形公式、Simpson公式、Cotes公式 误差分析 代数精度、截断误差　　　　　　 §7.1 插值型求积公式 一、方法概述 ——称 为计算 的插值型求积公式 二、Newton-Cotes公式 — 取等距节点 —— 称为Newton-Cotes公式 Cotes系数 多项式积分 1、梯形公式： 梯形公式 ---- 线性插值 几何意义： 直线近似替代曲线 2、Simpson公式（抛物线公式）： Simpson公式 几何意义： ---- 抛物线插值 抛物线近似替代曲线 3、Cotes公式： 注： Cotes公式 一般， — 梯形公式 — Simpson公式 — Newton公式 — Cotes公式 例： 解： —— n适当增大时，精度有所改善！ 三、误差分析 1、代数精度 若求积公式 对于次数 均能准确成立，而至少对于一个 的多项式 立，则称求积公式具有 次多项式不能准确成 次代数精度。 插值型求积公式误差为： 若 为次数 的多项式，则 ， ，从而 个节 点的插值型求积公式至少有 次代数精度。 判别定理 Th1： Th2： 例： 证明： 例1： 解： 3次精度 解：取?(x)=1,则上述求积公式 左=h，右= (1+1) h/ 2=h，故左=右； 取?(x)=x, 则左=h2/2，右=(0+h)h/ 2= h2/2，故左=右； 取?(x)=x2，则左=h3/3，右= (0+h2) h/ 2+ ah2(-2h)= h3/2-2ah3 令 h3/2-2ah3 =h3/3，得 a =1/ 12 再取?(x)=x3，则左=h4/4，右= (0+h3) h/2 +h2(-3h2)/12=h4/4; 若再取?(x)=x4时，左=h5/4，右= h5/2+h2(-4h3)/12= h5/6 左?右,所以当取a =1/ 12时，求积公式具有3次代数精度。 例2： 2、截断误差 ① 梯形公式： —广义积分中值定理 ② Simpson公式： 事实上，由于Simpson公式具有三次代数精度，因而对三 次多项式准确成立，作满足条件的3次Hermite插值 3次代数精度 插值条件 ③ Cotes公式： 同理可得， 具有5次代数精度； 由误差公式可知区间过大，误差亦大；为避免可 选取适当多的节点，即选取相对高阶的Newton-cotes 公式；但由稳定性分析又知：当 稳定的现象； 时，会出现不 复化求积公式 * *