计算方法课件 2.1 解线性方程组的直接解法.ppt

例： 解： * * * 解： 7、列主元Gauss消去法 ——为控制舍入误差 Gauss消去法要求 ，然后以 作除，因而当 较小时，舍入误差影响较大，会导致精度不高，甚 至消元过程失败，主元素消去法即是为克服这一问题提出 的，目的是保证主元不太小！ 例： 解：① 用Gauss消去法，取5位有效数字 ② 列主元消去法 可见列主元Gauss消去法是避开小数作除的Gauss消去法， 是它的变形。 设已完成k-1步消元，则在进行第k步消元时，增加选列 主元的工序，即：从 中选出绝对值最大者作 为第k步的主元； 设 则交换第 行与第k行， 然后对交换过行后的矩阵进行第k步消元。 注：① 除选列主元以外，也可考虑行主元及全主元，但由于需 记录交换信息，以便整理解，并且工作量大（全主元）， 故列主元更实用； ② 严格对角占优阵及对称正定阵是稳定的（Gauss消去）， 无需选列主元； ③ 矩阵解释：PA=LU （P为排列阵之积） 高斯列主元消去法 高斯列主元消去法 高斯列主元消去法 二、矩阵的三角分解解法 由Gauss消去法的矩阵解释，相当于 ——单位下三角 ——上三角 因而Gauss消去法的两个过程： ① 消元 ② 回代 事实上，我们可以从矩阵乘积的角度，直接计算出L、U， 从而可以避开消元过程。 1、LU分解的紧凑格式 ——Doolittle分解 （i） （j） 步骤： ① 定出U的第一行，L的第一列； 上述计算公式右端均为已知数，故而可算出U的第k行， L的第k列； ——Doolittle分解 ② 假设已定出了U的前k-1行，L的前k-1列， 则可定出U的第k行，L的第k列； ③ 解下三角形方程： 比较 的计算公式，改记 可知，对 作LU分解，其中b作相 应运算，则分解后的最后一列元素即是y。 ④ 解上三角形方程： 注：① ——LU分解的紧凑格式 即有： 具体计算时，可依次算出U的第一行，L的第一列； U的第二行，L的第二列； …… ； U的第k行，L的第k列； …… ； 例： 解： 注：②? Doolittle分解求解方程组的计算量与Gauss消去法基 本相当，但它可以将系数矩阵的计算与右端项的计算 分开，这使我们在计算一组同系数矩阵方程组时变得 特别方便。 如： 法一： 法二： 例： 解： (法二) 注：③ 并非所有非奇异矩阵均有LU分解； 反例： 事实上， 特别，对称正定矩阵由于各阶顺序主子式均大于0，故而 必存在LU分解。 Doolittle分解 实际问题中，当求解方程组的系数矩阵是对称矩阵时，则用下面介绍的LDLT分解法可以简化程序设计并减少计算量. 当矩阵A的各阶顺序主子式不为零时,A有唯一的Doolittle分解A=LU.此时,当然有,所以矩阵U的对角线元素uii ?0,(i=1,2,?,n),将矩阵U的每行依此提出uii 2、改进平方根法 ——针对对称正定矩阵(LDLT) 由A=AT，得 由分解的唯一性有， 即，于是可得下面的结论。 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则A可以唯一分解为A= LDLT ，这里 LT为L的转置矩阵。 当A有LDLT分解时，利用矩阵运算法则及相等原理易得计算ljk及dk的公式为 为减少乘法次数，引入辅助量 ujk= ljkdk,则上面公式可写成 平方根法 设A为正定矩阵，则它的各阶顺序主子式均为正。由前面的定理知，A必有唯一的LDLT分解式 A=LDLT 在解对称正定线性方程组时，系数矩阵A的LDLT分解中D又可分解为D=D1/2 D1/2，这里D1/2也是对角矩阵 3、选列主元的三角分解法 ——对应于选列主元的Gauss消去法 PA=LU 为避免分母 很小甚至为0，考虑选主元的三角分解法。 改进的平方根法 改进平方根法 第二章 线性方程组数值解法 本章内容 §2.1 解线性方程组的直接解法 §2.2