2018全国初中数学联合竞赛试题Word版.doc

第一试（  A ）一、选择题：（本题满分  42 分，每小题  7 分） 1.设二次函数  y  x2  2ax  a 2  的图象的顶点为  A ，与  x 轴的交点为  B，C.当 △ABC  为等边三角 2 时，其边长为（  ） A. 6 .  B. 2 2 .  C. 2 3 .  D. 3  2 . 2.如图，在矩形  ABCD  中，∠ BAD  的平分线交  BD  于点  E，AB=1 ，∠ CAE=15°，则  BE=（  ） A  D E B C A. 3 . B. 2 . C. 2 1 . D. 3 1. 3 2 p2+5pq+4q 2 为完全平方数的素数对（ p， g）的个数为（ 3.设 p， q 均为大于 3 的素数，则使 ） A.1. B.2. C.3. D.4. 1 2 1 2 a b ，则 a5－b5=（） 4.若实数 a.b 满足 a－ b=2， 4 a A.46.B.64.C.82.D.128. 5.对任意的整数 x，y，定义 x@y=x+y － xy，则使得 (x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0 的整数组（x， y， =）的个数为（） A.1. B.2. C.3. D.4. 6.设 M 1 1 1 L 1 ，则 1 的整数部分是（） 2018 2019 2020 2050 M A.60. B.61. C.62. D.63. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=24B ，CE⊥ AB 于 E，F 为 AD 的中点，若∠ AEF=48°， 则∠ B= A F D E B  C 2.若实数  x， y  满足  x3  y3  1  x  y  15  ，则  x+y  的最大值为  . 4 2 3.没有重复数字且不为  5 的倍数的五位数的个数为  . 4.已知实数  a、 b、 c 满足  a+b+c=0 ，a2+b2 +c2=1 ，则  5a  5b  5c abc 第二试（ A ） 一、（本题满分 20 分）设 a，b，c，d 为四个不同的实数， 若 a，b 为方程 x2－ 10cx－ 11d=0 的根， c， d 为方程 x2－ 10ax－ 11b=0 的根，求 a+b+c+d 的值 . 二、（本题满分 25 分）如图，在扇形 OAB 中，∠ AC=4 ，点 D 为 OB 的中点，点 E 为弧 AB 上的动点， OE  AOB=90° ， OA=12 ，点 与 CD 的交点为 F.  C 在  OA  上， 1）当四边形 ODEC 的面积 S 最大时，求 EF； 2）求 CE+2DE 的最小值 . A C E F O D B 三、（本题满分 25 分）求所有的正整数 m， n，使得 m3 n3 m2 n2 m 2是非负整数 n 第一试（ B ） 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.满足 x2 x x 2 1 1 的整数 x 的个数为（ ） A.1. B.2. C.3. D.4. 2.已知 1 2 3 1 3 ）为关于 x 的方程 x 3 － 3x 2 － a=0 的三个实数根，则 x ， x ， x （ x x? x +(a+2)x 4x1 x12 x22 x32 （ ） A.5. B.6. C.7. D.8. 3.已知点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 CD，AD 上，CD=4CE ，∠EFB= ∠ FBC ，则 tan∠ ABF= （ ） A F D E B C 1 3 C. 2 D. 3 A. . B. . . . 2 5 2 2 4.方程 3 9 x 3 x 的实数根的个数为（） A.0. B.1. C.2. D.3. 5.设 a，b，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018，则这样 的三元数组（ a， b， c）的个数为（ ） A.4. B.5. C.6. D.7. 6.已知实数 a， b 满足 a3－3a2+5a=1， b3－ 3b2+5b=5，则 a+b=（） A.2. B.3. C.4. D.5. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1.已知 p， q， r 为素数，且 pgr 整除 pq+qr+rp=1 ，则 p+q+r= . 2.已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 3.已知 D 是 △ABC 内一点， E 是 AC 的中点， AB=6 ，BC=10 ，∠ BAD= ∠ BCD ，∠ EDC= ∠ ABD