一元二次方程知识点以及考点分析可编辑修改版.doc

一元二次方程 一、本章知识结构框图 设未知数，列方程 数学问题 实际问题 ax2 bx c 0(a 0) 解 方 降 程 次  开平方法 配方法 公式法 分解因式法 数学问题的解 实际问题的答案 bb 2 4ac 检 验 x 2a 二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）让学生明确只有当二次项系数 a 0 时，整式方程 ax2 bx c 0 才是一元二次方程。 2）各项的确定 (包括各项的系数及各项的未知数 ). 3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如 x2 n 或 ( ax b) 2 n(a 0) 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有 未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 . 形如 x2 n 的方程的解法： 当 n 0 时， x n ; 当 n 0 时， x1 x2 0 ; 第 1 页 共 9 页 当 n 0 时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 (x m) 2 n 的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化 1” ：根据等式的性质把二次项的系数化为 1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 ( x m)2 n 的形式； ④求解：若 n 0 时，方程的解为 x m n ，若 n 0 时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的根 x b b 2 4ac 2a 当 b 2 4 0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根不相等； ac 当 b 2 4 0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根相等，写为 x x 2 b ； ac 1 2a 当 b 2 4 0 时，方程无实数根 . ac 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值， 判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。 ） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即： ab 0，则 a 0或 b 0 ； ②因式分解法的一般步骤： 将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于 0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二 次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 6）解含有字母系数的方程 1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； 2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论。 （三）、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （ 1） = b2 4ac （ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程 ax2 bx c 0 （ a 0 ） 第 2 页 共 9 页 a 0 ①当 方程有实数根； 0时 （当 a 0 a 0 方程有两个不相等的实数根；当 方程有两个相等的实数根；） 0时 0时 a 0 ②当 方程无实数根； 0时 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤） ；