再谈向量在中学数学中的应用.doc

PAGE PAGE 1 再谈向量在中学数学中的应用 浙江师范大学数学系547# 蔡妙才（321004） 由于向量有几何形式、代数形式，所以向量成了中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，并能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法，向量方法益于将几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题。 向量的引入除在立体几何中产生较大影响外，对于中学教材的其它一些内容，也可促进改善结构，优化教材内容，简化解题方法。 1、向量在三角形中的应用都与向量的数量积的运算有关。 例1 求值cos 解：作一个正五边形ABCDE，边长为1， 且AB与x轴的夹角为（如图1）。 由于AB+ 其在x轴上的投影亦为0， 注意到各向量与x轴的夹角分别为 5° 令x轴上的单位向量为? 则 ∴ 2、通过构造向量，利用向量不等式m° 例2．设（x2+y2+z2）（a2+b2+c2 求证：xa= 证明：若x=y=z=0，结论显然。 若x，y，z不全为0，构造向量p=（x，y，z），q=（a,b,c），并设 根据空间向量的数量积知识，则 由已知条件得（cosθ） ∴p=λq 即（x，y，z）=λ（a,b,c），∴ 例3 已知a,b,c为正数，求y=x2+a2 解：构造向量p=（x，a），q=（c-x,b），则函数y=p+q， p+q≥p+ ∴ymin 3、适当构造向量，可使一类函数最值问题的思路清晰，解题方法巧妙，并定于规律性，趣味性。 定理 m,n为两个向量,则 QUOTE m2≥(m°n 证明：设向量的夹角为θ，则 QUOTE m2=m2°n 例4 已知点P（x，y）在椭圆 QUOTE x24+y29 解：构造m 知1=x24 即( 故2x-y最大值是5。 例5 已知ab=1000，a1,b1,则的最大值 QUOTE 1+lga+1+lgb的最大值 是______.（第13届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题） 解：构造 QUOTE m=1+lga,1+lgb ，，依定理 QUOTE n=1,1，依定理 5=2+lg1000=2+lgab== QUOTE m2≥(1+lga,1+lgb = QUOTE 12(1+lga,1+lgb 于是， QUOTE 1+lga,1+lgb≤10 知其最大值是。 参考文献： [1] 张光友. 平面向量在中学数学中的应用(J).甘肃教育.2003.9 [2] 李建新，孙建斌. 构造向量求函数最值(J). 中学数学月刊. 2003.3 [3] 朱新军. 初探利用向量知识解题前景的广阔性(J).中学生数理化学研版.2006.2