高考中的平面向量问题.docVIP

PAGE 第 PAGE 2 页 共 NUMPAGES 4 页 高考中的平面向量问题 天津四中 李 晖 近几年来，平面向量成为高考考查的重点，分值逐年增加。考查地重点一方面是平面向量的基本概念及基本运算能力；另一方面平面向量的坐标运算和平面向量的数量积的概念、性质及运算律也是考查的重点。向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究与向量相关的问题时，一定要结合图形进行分析、判断和求解，这是研究平面向量问题的重要方法和技巧。 OABMP图11．(2006年湖南卷·理15) 如图1, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是__________;当时,的取值范围是__________. O A B M P 图1 解析：依题意，在射线OM上取 由平行四边形法则，可得到， 其中， 则 令，则，由此可得 当时， 说明：本题主要考查平面向量的基本定理，同时，要利用实数与向量的积的概念结合图形分析实数m和n的取值范围，从而求出x和y的取值范围。 2．(2006年陕西卷·理9) 已知非零向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AC,\s\up6(→))满足( eq \f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|) + eq \f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|) )· eq \o(BC,\s\up6(→))=0且 eq \f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|) · eq \f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|) = eq \f(1,2) , 则△ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 AB A B C 解析：，可知 由向量的数量积的定义可知， ，得到+=0 所以，cosC-cosB=0,其中B,C为△ABC内角，则∠C=∠B 故△ABC为等腰三角形； 又由 综上所述，可知△ABC为等边三角形. 说明：本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，在两个向量的数量积的运算中一定要注意夹角，必须是两个向量有共同的起点时所构成的角. 3．(2006年浙江卷·理13)设，，满足，，，若，则的值为 . 解析：[方法1]由，可知即 由此可得，故； 又，故. OABC[方法2]依题意构图如右，令，，其中作平行四边形ABCD O A B C ,即， 由于，则∠AOB=90O，即平行四边形ABCD为矩形， 又由于，则,所以四边形ABCD为正方形。 ∴，，从而. 说明：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算． 4．(2003年天津卷·理4) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 解析：（方法1）当λ0时，因为 所以， 得到，所以 因为A、B、C三点不共线，所以AP平分∠BAC 得到点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 故答案为B ABCB1C A B C B1 C1 P P1 O 则动点P满足. 所以，点P的轨迹是由点A出发的射线AP1. 由于，且∥， 所以AP1平分∠BAC. 因此，点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故答案为B. 5．（2002年—文(12)，理(10)）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为（ ）． （A） （B） （C） （D） 解析：[方法1]设，由题意． 于是，①＋②×2得． 于是点的轨迹方程为． [方法2]已知不共线，有，且其中． 因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有 ，即．故选D. 6.(2006年辽宁卷·理12)设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是( ) xyOABP(x,1-x)(A) x y O A B P(x,1-x) 解析：如右图所示设P(x,1-x)(0≤x≤1),则由 得到(x,1-x)(-1,1)≥(1-x,x-1)(-x,x),整理得：2x2≤1, 所以，又由，即(x-1,1-x)=λ(-1,1)， 故，故选择B. 说明：从向量的定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用，突出数形结合的数学思想。 在解决有关向量的问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，