轴对称图形的性质及应用.docx

轴对称图形的性质及应用 如果把一个图形沿着某一条直线对折过来， 在直线两旁的部分能够完全重合， 那么这 个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点． 轴对称图形具有以下的性质：（ 1）轴对称图形的两部分是全等的；（ 2）对称轴是连 结两个对称点的线段的垂直平分线． 在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称 图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边 中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等． 另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图 形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中． 例 1 已知直线 l 外有一定点 P ，试在 l 上求两点 A ， B ，使 AB m （定长），且 PA PB 最短． 分析： 当把 P 点沿 l 方向平移至 C （如图 1），使 PC m ，那么问题就转化为在 l 上 求一点 B ，使 CB PB 为最短． 作法 ：过 P 作 PC // l ，使 PC m ，作 P 关于 l 的对称点 P ，连结 CP 交 l 于 B．在 l 上作 AB m，点 A ， B 为所求之两点． 证：在 l 上另任取 A B m ，连 PA，PA ， PB ，CB ，A P ， B P ，则 PA P A ， PB PB ，又 PABC为平行四边形，∴ CB PA ． ∵CB ＋ BP ＞CP ， PA ＋ PB ＞ PA ＋PB． 例 2 如图 2，△ ABC 中， P 为∠ A 外角平分线上一点，求证： PB＋ PC＞ AB＋AC ． - 1 - 分析 ：由于角平分线是角的对称轴， 作 AC 关于 AP 的轴对称图形 AD，连结 DP，CP， 则 DP ＝ CP， BD ＝ AB＋ AC．这样，把 AB ＋AC， AC， PB， PC 集中到△ BDP 中，从而由 PB＋ PD ＞BD，可得 PB ＋PC＞AB ＋AC． 证： （略）． 点评：通过变为轴对称图形后， 起到相对集中条件的作用， 又有将折线化直的作用 （如 AB＋ AC 化直为 BD）． 例 3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于 m ，求此梯形的高． 解：如图 3．设等腰梯形 AD∥ BC，AB＝ DC，对角线 AC 与 BD 相交于 O，且 AC⊥BD ， 中位线 EF ＝ m.过 AD ， BC 的中点 M， N 作直线，由等腰梯形 ABCD 关于直线 MN 成轴对称图形，∴ O 点在 MN 上，且 OA＝ OD，OB＝ OC， AM＝ DM ，BN＝ CN．又 AC⊥ BD，故△ AOD 和△ BOC 均为等腰直角三角形． 2OM ＝ AD，2ON＝ BC．∵ AD＋ BC＝ 2EF＝ 2m， 2OM ＋ 2ON＝ 2m． ∴ OM ＋ ON＝ m ，即梯形高 MN ＝ m ． 例 4 凸四边形 EFGH 的四个顶点分别在边长为 a 的正方形 ABCD 的四条边上．求证： EFGH 的周长不小于 2 2a ． - 2 - 证： 如图 4，连结 AA2， EE3．正方形 ABCD 和正方形 A1BCD 1 关于 BC 对称； EFGH FG H 关于 BC 对称； A BCD 和ABCD 关于 CD 对称；E FG H 和 E F G H 关于 和E1 11 11 2 1 1 1 11 1 2 1 1 2 CD1 对称； A2B1CD 1 和 A2B2C1D 1 关于 A2D1 对称 ，E2F1 G1H 2 和 E3F2G2H2 关于 A2D 1 对称． AA2 2 2a ，又 AE A2 E3 EE3 AA2 2 2a EF FG GH HE EF FG1 G1H 2 H 2 E3 ≥ EE3 AA2 2 2a 例 5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩 形． 已知：如图 5．四边形 ABCD 中 ，M， F， N， E 分别为各边的中点，且 MN ，EF 为它 的对称轴． 求证： ABCD 是矩形． 分析 ：欲证 ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可． 证：∵四边形 ABCD 关于 EF 成轴对称，∴ DC⊥ EF ，AB⊥ EF ， ∴ AB∥ DC ．同理 AD ∥BC．∴ ABCD 是平行四边形．∴ DC＝ AB． - 3 - DC ， AF AB AD∥ EF， 又∵ DE ．∴ D E AF ，∴ ADEF 为平行四边形．∴ 2 2 而 DE ⊥ EF，∴ DE ⊥AD ，∠ D＝ 90o ．∴ ABCD 是矩形． 轴对称应用举例 山东 徐传军 生