新北师大版数学八年级上册同步培优练习全册全集.docx

PAGE 2 第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 知识点一　认识勾股定理精练版P1 我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可． 勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2. 例1　如图①，在直角三角形外部作出3个正方形． (1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________； (2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________； (3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________； (4)如果用SA，SB，SC分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________； (5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？ 解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系． 解：(1)16　16　(2)9　9　(3)25　25　(4)SA＋SB＝SC　(5)图②中，SA′＝1，SB′＝9，SC′＝10，所以仍然有SA′＋SB′＝SC′. 知识点二　勾股定理的简单应用精练版P1 1．已知直角三角形的两边求第三边． 2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系． 3．证明线段的平方关系． 例2　如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草． 解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米． 答案：4 第2课时　勾股定理的验证及其应用 知识点一　勾股定理的验证精练版P2 勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的． 一般步骤如下： 拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理． 如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形， 所以(a＋b)2＝4×eq \f(1,2)ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形， 所以c2＝4×eq \f(1,2)ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2. 如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形， 所以eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝2×eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)c2， 整理，得a2＋b2＝c2. 知识点二　勾股定理的应用精练版P2 1．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系． 如图，Rt△ABC中， ∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理． 2．应用勾股定理时要注意： (1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论． (2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c. (3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论． 例1　“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C. 答案：C 易错点　没有明确直角边和斜边 用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论． 例2　在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2. 解：当AB为斜边时，AB2＝AC2＋BC2＝225； 当AB为直角边时，AB2＝BC2－AC2＝63.所以AB2为225或63