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代数插值法 1. 插值法概述 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实 验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数 在给定点的函数值 (或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便 于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格 朗日(Lagrange)插值和牛顿 (Newton)插值为代表的多项式插值最有特 点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值.这里主要介绍拉 格朗日(Lagrange)插值和牛顿 (Newton)插值。 1.1拉格朗日插值 1.1.1基本原理 构造n次多项式P (x) y l (x) y l (x)+y l (x)+…+y l n k k 0 0 1 1 n n (x)，这是不超过n次的多项式，其中基函数l (x) k 显然l (x)满足l (x ) k k i 此时 P (x)≈f(x),误差R (x) f(x)-P (x) n n n 其中∈(a,b)且依赖于x， （x-x ）(x-x )…(x-x ) 0 1 n 很显然，当n 1、插值节点只有两个x ,x 时 k k+1 P (x) y l (x)+y l (x) 1 k k k+1 k+1 其中基函数l (x) l (x) k k+1 1.1.2优缺点 可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单 和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。利用插值基函 数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为 方便，但当插值节点增减时全部插值基函数Lk (x) (k 0,1,…,n)均要随 之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了 克服这一缺点，提出了牛顿插值可以克服这一缺点。 1.1.3数值实验 程序如下： #includestdio.h #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define N 10 #define M 2 void main (void) { double x[N],y[N],a,l[N]; int i,j,n,flag; double answer 0.00f; do{ printf(创建Lagrange插值多项式共用到N组(X,Y)值，请输入N :); scanf(%d,n); if(n Nn M) flag FALSE ; else if(nN ||n 1) { printf(对不起，你输入错误!\n请确保你输入的N满足 2 N %d.,N); printf(\n); flag TRUE ; } }while(flag TRUE); printf(\n请输入需要计算的X值:); scanf(%lf,a); for (i 0;in ;i++) { printf(请输入第%d组(X,Y)的值:,i+1); scanf(%lf%lf,x+i,y+i); } for (i 0;in ;i++) { l[i] 1.0f; for (j 0;jN ;j++) if(i! j) l[i]* (a-x[j])/ (x[i]-x[j]); else continue; answer+ l[i]*y[i]; } printf(f(%.3lf) %lf\n,a,answer); } 实验结果 Input n:4 Input x[n]: O,4 0.55 0.6