杆的扭转定理和公式（一）.pdf

圆截面杆的扭转 外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 || 圆杆的非弹性扭转 1.外力与内力 杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图 2·2-1a），其变形特点是在任意两 个截面绕轴线发生相对转动。轴类构件常有扭转变形发生。作用在传动轴上的外力偶矩 m 通常是根据轴所传 递的功率 N 和转速 n(r/min)来计算。 当N 的单位为千瓦（kW）时 当N 的单位为马力（HP）时 扭转时的内力为扭矩 T，用截面法求得。画出的内力图称为扭矩图（或T 图），如图2·2-1b所示 图2·2-1 圆杆的扭转 2.圆杆扭转切应力与强度条件 当应力不超过材料的剪切比例极限 r 时，某横截面上任意 C 点（图 2·2-2）的切应力公式为 p 式中 T——C 点所在横截面上的扭矩 p——C 点至圆心的距离 L ——横截面对圆心的极惯性矩，见表 2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。 p 1 图2·2-2 切应力分布 圆杆横截面上的切应力r 沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图 2·3-2）。模截面上的最大切应力在圆 周各点上，其计算公式为 等截面杆的最大切应力发生在 T 截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。其强度条件为 max 式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ] （0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ] （0.5～ 0.6）[σ] （脆性材料） 3.圆杆扭转变形与刚度条件 在比弹性范围内，圆杆在扭矩 T 作用下，相中为 L 的两截面间相对扭转角为 或 式中 G——材料的切变模量 单位扭转角公式为 或 式中 GL ——抗扭刚度 p 圆杆上与杆轴距离为p 外（图 2·2-2）的切应变r 为 2 圆杆表面处的最大切应变为 式中,r——圆杆的半径 等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在 T 一段内，其刚度条件为 max 式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m 4.圆杆的非弹性扭转 讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。对于加工硬化材料，如果材料的 应力-应变图为已知（图 2·3-3a），则杆中任一点处的切应力r 就可以确定。位于横截面边缘处应变为 r ， max 其相应的切应力 r 可以从应力-应变图求得。整个横截面上切应力的（图 2·3-3b）与应力-应变图的形状相 max 同。 使圆杆产生单位扭转角所必需的扭矩 T，可根据静力学方程求得（见图 2·2-3b）为 图2·2-3 圆杆的非弹性扭转 将式 (2-2-10)代入式 (2-2-13)得 式中 R =rθ max 根据式（2·2-14），可以得到T 与 θ的关系曲线，根据该曲线，可以确定对给定T 值的 θ和 T 。 max 如果圆杆的材料具有明显的屈服极限 r ，则可使应力-应变图理想化，如图 2·2-4a 所示，此材料弹 s 塑性材料。此时，只要杆中最大应变小于 r 时，杆就属于