2014年高中数学知识探究教案人教版a版必修5：1.1《.1正弦定理》一）.doc

讲授新课 [合作探究] 师那么对于任意的三角形，关系式是否成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而. （当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 . 师是否可以用其他方法证明这一等式？ 生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′， ∴sinC=sinB′=. ∴. 同理,可得. ∴. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式 . 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展] 师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢? 生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角. 师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢? 生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因. 师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了. 师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点. 点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用. (2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程: (1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C. 由向量的加法原则可得 , 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到 由分配律可得 . ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴. 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B) ∴. (2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C. 由,得j·+j·=j·, 即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B. 同理,可得. ∴（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC； （2） 等价于 (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两