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控制工程基础重要知识点总结 第二章 系统的数学模型 一、系统的微分方程 1.1、系统的数学模型及其形式 时间域：如微分/差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 1.2、线性系统和非线性系统 系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。 ⑴线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即满足叠加原理： 线性系统又分为线性定常系统和线性时变系统。 线性定常系统：系统微分方程的系数均为常数。其特点是系统响应曲线的形态只取决于具体的输入，与输入信号的时间起点无关。 线性时变系统：微分方程的系数为时间的函数。 ⑵非线性系统：系统中存在一个或多个非线性元件，系统只能用非线性微分方程来描述。非线性系统不满足叠加原理。 二、控制系统微分方程的编写 控制系统一般由若干元件组成，列写微分方程的一般步骤是： Step1:根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量---划分环节，确定变量； Step2:按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出系统各个环节的动态微分方程； Step3:消去上述各方程中的中间变量，最后得到只包含描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程； Step4:将微分方程标准化。与输入有关的项写在方程的右边，与输出有关的项写在方程的左边，方程的各阶导数按降幂排列。 非线性微分方程的线性化 工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成Taylor级数，然后去掉高次项以得到线性函数。 三、拉氏变换知识 3.1复数的概念 复数，其中、均为实数，分别称为S的实部和虚部，记做 ， 为虚单位。两个复数相等时，必须且只须它们的实部和虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。 3.2 复变函数、极点与零点的概念 以复数为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S的一个给定值，G(s)就唯一被确定。 若有复变函数 当时，,称，···，为G(s)的零点； 当时，，称，···，为G(s)的极点。 3.3 拉氏变换 常用函数的拉氏变换 1 t 3.4 拉氏变换的主要运算定理 微分定理 若，则，为由正向使的值。 积分定理 若,则 式中是在时的值。 终值定理 若，则 3.5 拉氏变换的部分分式法 一般，是复数的有理代数式，可表示为 式中和分别为的极点和零点，它们是实数或共轭复数，而且，一般。 根据极点种类的不同，将象函数代为部分分式之和，有以下两种情况。 (1).无重极点的情况 总是能展开为下面简单的部分分式之和： 为待定系数。 先以（）同乘上式两边，后以代入，则有 注：时，各项均为零。 故有 依此类推有： 因为：所以： 当某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法求解。 (2).有重极点： 设F(s)有r个重极点，其余极点均不相同，则： 式中的求法如下： 其余系数求法与前几种（无重极点）所讲述的方法相同，即 3.6、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤 ①对微分方程各项进行拉氏变换； 求出待求变量的像函数表达式； = 3 \* GB3 ③像函数进行拉氏反变换。 例：求微分方程的解 x(t),，a、b均为常数。 解：①方程两侧拉氏变换得： ②代入初始条件的： 整理得： ③ 四、系统的传递函数 4.1、线性系统传递函数的定义 系统的传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能，所以，对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。 4.2、典型元部件的传递函数 (1)比例环节 时域方程，传递函数 常见比例环节：分压器、交流变压器、线性放大器、杠杆、无间隙传动齿轮组等。 (2)惯性环节 时域方程，传递函数 过渡过程时间:当输出到达稳定值的或时所需的时间。 或 可以看出，惯性环节的输出是非周期性的，因而也叫非周期环节。此外，炉子、测温用的热电偶、弹性弹簧以及发电机等均属于惯性环节。 惯性环节特点： 存在储能元件 输出量落后于输入量，不能立即复现突变的输入 (3)微分环节---输出量与输入量的导数成比例关系 三种微分环节：纯微分环节（理想微分环节）、一阶微分环节（也叫比例加微分环节）和二阶微分环节。其方程分别为： 微分环节的传递函数只有零点而无极点。纯微分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点分别为实数和一对共轭