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控制工程基础重要知识点总结 第五章? 系统的稳定性 一、系统稳定的初步概念 1.1 稳定性的定义：系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。 1.2 系统稳定的充要条件： 系统所有特征根具有负实部 系统传递函数的所有极点分布在s左半平面内 1.3系统不稳定现象的发生： 线性系统不稳定现象发生取决于系统内部条件； 系统发生不稳定现象必有适当的正反馈作用； 控制系统中讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即输入为零时的自由响应。 1.4 关于稳定性的一些提法 1) 李雅普诺夫意义下的稳定性 当系统(任意系统)受到扰动后,其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：i)系统的自由响应是有界的；ii)系统的自由响应是无界的；iii)系统的自由响应不但有界，且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。 2) 渐近稳定性 即李雅普诺夫意义下的渐近稳定性，也就是线性系统的稳定性，它要求由初态引起的响应（系统无输入时的初态或干扰引起的初态或二者兼）最终衰减到零。渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳定性要严格，后者将临界稳定也视为稳定。 二、稳定性判据 代数判据基于特征方程根与系数的关系而建立。其优越性在于可利用特征方程各项系数，在不解方程情况下，判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根。 2.1 判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据 系统稳定的充要条件：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。 系统特征方程的一般形式为： 各阶赫尔维茨行列式为： ，，，， 举例1：系统的特征方程为： 试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。 解： 计算各阶赫尔维茨行列式: ,,,系统不稳定。 2.2 林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据 赫尔维茨判据的推广，可减少行列式计算工作量。 系统稳定的充要条件： 系统特征方程的各项系数大于零(必要条件)，即 奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。 例2、知单位负反馈系统开环传函,求开环增益Ｋ的稳定域。 解： 系统稳定充要条件： 开环增益Ｋ的稳定域： K越大，系统的稳定性越差。 2.3 Routh（劳斯）稳定性判据 (1) 系统稳定的必要条件 设系统特征方程为： 欲使特征根均具有负实部，上式相应系数须满足： 特征方程各项系数均为实数且不为零，否则必存在零根或实部有正有负的根，系统不稳定； 特征方程各项系数均大于零。 (2) 系统稳定的充要条件 ①、劳斯表的编制 将系统特征多项式系数按下面的方式编制劳斯表：从第三行开始： ②、Routh(劳斯)稳定性判据 Routh判据指出：特征多项式对应的方程中，实部为正数的根的个数等于劳斯表第一列元素符号改变的次数。系统稳定的充要条件： 特征多项式各系数皆为正数(此为必要条件)； Routh表中第一列各元素均为正数。 = 3 \* GB3 ③、稳定判据的应用： 判断系统稳定性 分析系统参数变化对稳定性的影响：利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的影响，以及使系统稳定的参数取值范围。 确定系统的相对稳定性 结构不稳定系统及其改进措施 = 4 \* GB3 ④、稳定判据的应用示例 例3知系统结构图如下，且，试确定保证系统稳定的参数K1的取值范围。 解：系统的开环传递函数： 特征方程： 列劳思表： 系统稳定充要条件：， K1取值范围： 时，系统临界稳定。 (3) Routh 判据的特殊情况 Routh表中第一列元素出现0，而0所在行其它元素不全为0时，可将0用一个无穷小的正数ε代替继续计算；或用因子(s+a)乘以原特征式，a为任意正数，再对新的特征方程运用Routh判据。 若第一列元素无符号改变，表明系统有一对纯虚根，处于临界稳定状态；有符号改变时，表明系统有s右平面的根。 Routh表中某行元素全为0时，说明方程存在关于原点对称的根(或存在一对符号相反的实根；或存在一对共轭纯虚根；或上述两种情况同时存在；或存在实部符号相异而虚部数值相同的两对共轭虚根)。可利用该行的上一行元素构造一个辅助特征方程，以其导函数系数代替全0行继续计算。 例4：设系统的特征方程为：，试用劳斯判据确定正实部根的个数。 解：列劳斯表 以因子(s+a)乘以原特征式，可取a=1。得到新的特征方程： 列劳斯表： 结论：第一列符号变化两次，方程有两个正实部根。 例5：系统特征方程： 试用劳思判据确定正实部根的个数。 解：列劳斯表： 用全零行的上一行系数构造辅助方程： 求导得：，用上述方程的系数代替原表中全零行： 特征方程有一个正实部根。解辅助方程知产生全零行的根为；其它两个根为 。 2.4 系统结构不稳