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* * 二次函数 Y=ax2+bx+c 二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）， y叫做x的二次函数。 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a≠0) y=ax2+bx (a≠0，c=0) y=ax2 +c (a≠0，b=0) y=ax2 (a≠0，b=0，c=0) 配方后二次函数的几种形式 y=ax2 顶点坐标（0，0）对称轴x=0 y=ax2+c 顶点坐标（0，c）对称轴x=0 y=a（x–h）2 顶点坐标（h，0）对称轴x=h y=a（x–h）2 +k 顶点坐标（h，k）对称轴x=h 二次函数的图象及性质：y=ax2+bx+c =a（x+ ）2+ y= –x2 顶点坐标（0，0）对称轴x=0 y= –x2+3 顶点坐标（0，3）对称轴x=0 y= –（x–2）2 顶点坐标（2，0）对称轴x=2 y= –（x–2）2 +3 顶点坐标（2，3）对称轴x=2 当x≤– 时，y随x的增大而增大； 当x– 时，y随x的增大而减小； 当x≤– 时，y随x的增大而减小； 当x– 时，y随x的增大而增大； 增减性 当x= — 时, y最大值= 当x= — 时, y最小值= 最值 (— , ) 顶点坐标 X= — 对称轴 ︱a︱越大，开口越小 开口向下，无限延伸 开口向上，无限延伸 开口方向 性质 抛物线 图 象 a0 a0 a的符号 项目 内容 x y 0 x 0 y 例题分析: 解：y= （x2 –2x –8） = （x–1）2 – 7) 当x___时， y随x的增大而增大 当x___时， y随x的增大而减小 8) 当x___时，y0 当x___时，y=0 当x___时，y0 9) 图像的顶点和它与x轴的两 个交点围成的三角形面积 ____ 10) 四边形OBPA的面积为 _______ 讨论回答 1）图象_______ 2) 开口方向 ____ 3) 顶点坐标____ 4) 对称轴______ 5) 函数有最___值, 其值是___ 6) 图象与x轴的交点坐标_____ 与y轴的交点坐标_____ 把y= x2 –x –4化成y=a(x –h)2+k 的形式后回答右边十个问题。 a、b、c的符号对图象的影响 c a﹒b a 0 =0 0 符号 字母 开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴是y轴 对称轴在y轴右侧 图象与y轴的交点在x轴上方 图像过原点 图像与y轴的交点在x轴下方 △的符号决定图象与x轴交点的个数 b2—4ac 0 =0 0 符号 △ 图象与x轴有两个交点 图象与x轴有一个交点 图象与x轴无交点 例1 填空： 1)、 已知：二次函数y=2x2—mx—1的图象过 （2，3）点，则m=_________ 2）、当m=_________时， 函数y=(m2+m)x m -2m-1是二次函数。 3）、已知：二次函数y=–x2+2(m–1)x+2m–m2 (1) 当函数的图象过原点时，m的值______ (2) 如果函数的图象关于y轴对称，那么函数的 解析式为__________________ 2 例2 抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，确定下列各式的符号：① a；② b；③ c；④ △=b2-4ac；⑤ a+b+c；⑥ a–b+c 解：① ∵开口向下 ∴a0 ② ∵ 0 ∴a、b异号 ∵a0 ∴b0 ③ ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方 ∴c0 ④ ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴△=b2-4ac0 ⑤ 当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c ∴ a+b+c0 ⑥ 当x=–1时，y=ax2+bx+c=a–b+c ∴ a–b+c0