已知65x^2y^2+4y^4=7,求8x^2+y^2的最小值.doc

davidee 已知65x2y2+4y4=7,求8x2+y2的最小值。 主要内容： 介绍用二次方程判别式法、不等式公式法、三角换元法和多元函数极值法等方法，介绍8x2+y2在已知65x2y2+4y4=7条件下的最小值主要思路和步骤。 方法一：判别式法 将题目结论通过条件变形得到能使用二次方程判别式形式，进而求解所求代数式的最小值。 设8x2+y2=t，则x2=eq \f(t-y2,8) ,代入已知条件得： 65.eq \f(t-y2,8) .y2+4y4=7,化简得到： 33y4-65ty2+56=0,看成的二次方程，由判别式得： (65t)2-4.56.33≥0, 65t≥2eq \r(56.33), t≥eq \f(2,65)eq \r(56.33),则本题所求的最小值为eq \f(4,65)eq \r(231)。 方法二：基本不等式法 通过变形利用两个正数的基本不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a，b，有a+b≥2eq \r(ab). ∵65x2y2+4y4=7， ∴(65x2+4y2)y2=7,即65x2+4y2=eq \f(7,y2) ,进一步得： x2 =eq \f(1,65)(eq \f(7,y2) -4y2),代入所求代数式得： 8x2+1y2 =8.eq \f(1,65)(eq \f(7,y2) -4y2)+y2， =eq \f(1,65).(56.eq \f(1,y2) +33y2), 再利用基本不等式，得： ≥eq \f(2,65)eq \r(56.33)=eq \f(4,65)eq \r(231)，即等号值为所求最小值。 方法三：均值不等式法 通过变形利用两个正数的均值不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a，b，有ab≤(eq \f(a+b,2))2。实质上是基本不等式的逆应用。 ∵65x2y2+4y4=7， ∴(65x2+4y2)y2=7,对括号内x2的系数进一步变形得： eq \f(65,8).(8x2+ eq \f(32,65)y2)y2=7,两边同时乘以eq \f(33,65)得： eq \f(65,8).(8x2+ eq \f(32,65)y2).eq \f(33,65)y2=7.eq \f(33,65),即： (8x2+ eq \f(32,65)y2). eq \f(33,65)y2=eq \f(56,65).eq \f(33,65),利用均值不等式得： (8x2+eq \f(32,65)y2).eq \f(33,65)y2≤(eq \f(8x2+eq \f(32,65)y2+ eq \f(33,65)y2,2))2=(eq \f(8x2+y2,2))2, 即： eq \f(56,65).eq \f(33,65)≤(eq \f(8x2+y2,2))2,变形不等式得： (8x2+y2)2≥4.eq \f(56,65).eq \f(33,65)，则： 8x2+y2≥2eq \r(eq \f(56,65).eq \f(33,65)) =eq \f(4,65)eq \r(231)，即等号值为所求最小值。 方法四：三角换元法 利用正弦、余弦换元x，y，根据三角函数的有界性及不等式公式等求代数式的最小值。 设65x2y2=7sin2t，4y4=7cos2t，且t∈(0, eq \f(π,2)]。 则y2= eq \r(eq \f(7,4)).cost，代入正弦函数条件中得： 65x2 eq \r(eq \f(7,4)).cost =7sin2t，即： x2=eq \f( eq \r(28),65).eq \f(sin2t,cost),将x,y代入到所求的代数式得： 8x2+y2 =8.eq \f( eq \r(28),65).eq \f(sin2t,cost)+ eq \r(eq \f(7,4)).cost =8.eq \f( eq \r(28),65).eq \f(1-cos2t,cost)+ eq \r(eq \f(7,4)).cost =eq \f( eq \r(28),65).(eq \f(8,cost)+eq \f(33,4).cost),再利用基本不等式得： ≥eq \f( eq \r(28),65).2eq \r(eq \f(8,cost).eq \f(33,4).cost)， =eq \f(2,65)eq \r(8. eq \f(33,4))=eq \f(4,65)eq \r(231)，取等号值为所求最小值。 方法五：导数法 设所求最小值为t0，则8x2+1y2=t0,可求出函数y对x的导数，此时的导数并与已知条件中y对x的导数相等，即可求得最小值。 由8x2+y2=t0，两边对x求导得： 16x+2yeq \f(dy,dx)=0,即：eq \f(dy,dx