问题7.2立体几何中折叠问题-突破170分2016届高三数学复习提升秘籍.docx

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍 问题二：立体几何中折叠问题 立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面 展开。把 一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进 而研究图形在位置关系和数量关系 上的变化，这就是折叠问题。把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面 上的距离问题，这就是几何体的表面展开问题。 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题， 这两种方式的转变正是空间几何与平面几 何问题转化的集中体现， 展开与折叠问题就是一个由抽象到直观， 由直观到抽象的过程。 此 类问题也是历年高考命题的一大热点， 主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉 及到空间中的线面关系、 体积的求解以及空间角、 距离的求解等问题； 二是几何体的表面展 开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等 一、平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形， 抓住两个关键点：不变 的线线关系、不变的数量关系 ?不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直 关系是证明空间平行、 垂直关系的起点和重要依据； 不变的数量关系是求解几何体的数字特 征，如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据 1.折叠后的形状判断 【例1】如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方 形相邻边折叠，能够围成正方体的是 （要求：把你认为正确图形的序号都填上 ） .也可利用手中的 .也可利用手中的 纸片画出相应的图形进行折叠 【答案】①③⑥ 【解析】 ①③⑥可以一 把横看的小方形折起后，再折竖着的小方形，则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合，导致正 方体缺少一个侧面』 ④把下方的小方形折起后，则上方的小方形中的第1丄个重合，导致正方体的底面缺少，不能折成正方 体, （5肥中间的小方形当成正方体的底面，则右下方的小方形折蠡不起来，构不成正方体. 【牛刀小试】下图代表未折叠正方体的展开图， 将其折叠起来，变成正方体后的图形是 （） 【答案】B 【解析】将平面展开图还原成正方体后，三个面内的线段是平行的，故选 B. 2?折叠后的线面关系 【例2】将图1中的等腰直角三角形 ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形 ABCD（如图2），则在空间四边形 ABCD中，AD与BC的位置关系是 图1 图1 图2 A .相交且垂直 A .相交且垂直 C.异面且垂直 【答案】C B.相交但不垂直 D.异面但不垂直 【解析】在图 【解析】在图1中的等腰直角三角形 ABC中，斜边上的中线 AD就是斜边上的高，则 AD丄BC,折叠后如图2, AD与BC变成异面直线，而原线段 BC变成两条线段 BD、 CD，这两条线段与 AD垂直，即 AD丄BD , AD丄CD，故 AD丄平面 BCD，所以 AD 丄 BC. 沿虚线折成一个【牛刀小试】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点） 沿虚线折成一个 正四面体后，直线 MN与PQ是异面直线的是 【答案】①④ 【答案】①④ 【解析】 ①中的團形折起后的固形如團所不?显然J/V与PO罡异回直线j②中的图形折起后的團形如图所示，显然肛V与P0 ①中的團形折起后的固形如團所不?显然J/V与PO罡异回直线j ②中的图形折起后的團形如图所示，显然肛V与P0是才咬直线（点儿Q重合）* 中的图形折起后的图形如图所示，显然』△「与鬥2是平行直线; 中的團形折起后的團形如閣所示，显然山“与尸Q是异面直线; 3?折叠后几何体的数字特征 折叠后几何体的数字特征包括线段长度、 几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设 计问题综合、全面，也是高考命题的重点 ?解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的 结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应 【例3】（体积问题）如图所示，等腰 △ ABC的底边AB = 6、、6，高CD = 3，点E是线段 BD上异于点B, D的动点，点F在BC边上，且EF丄AB，现沿EF将厶BEF折起到 △ PEF的位置，使PE丄AE，记BE =x , V(x)表示四棱锥 P - ACFE的体积. (1 )求 (1 )求V(x)的表达式; (2 )当x为何值时，V(x)取得最大值? 【解析】 ⑴ 由折起的过程可知，PE丄平面ABC, S*辰匚才尖壬 3 4- 12 (0x37S) j 12 (2) —(9-丄x:),所以 x亡(0上)B寸’ vr(x) 0 r 单调递増；6 x 3^B1! v(r)0 , V{x) 单调递减?因此时，V\x：i取得最丈1頁学科网 【牛刀小试】 【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形 ABCD中, AB -BD =0,沿BD将四边形折起成直 AB -BD =0,沿B