微分 方程的积分因子求解法.doc

常微分方程得积分因子求解法 内容摘要:本文给出了几类特殊形式得积分因子得求解方法,并推广到较一般得形式。 关键词: 全微分方程,积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 　对于形如 　 　　 　 　 　 　　 　 (1。1) 得微分方程,如果方程得左端恰就是,得一个可微函数得全微分,即= ,则称(1、1)为全微分方程、 易知,上述全微分方程得通解为 =, (为任意常数)。 定理１。1　(全微分方程得判别法)设,在,平面上得单连通区域内具有连续得一阶偏导数,则(１.１)就是全微分方程得充要条件为 　 　 　 (１、2) 证明见参考文献［１］. 定义1。2 对于微分方程(1.1),如果存在可微函数,使得方程 　 　　　 　 (１。3) 就是全微分方程,则称为微分方程(1。1)得积分因子、 　 定理1。２ 可微函数为微分方程(1、1)得积分因子得充要条件为 -= 　 　　(1、4) 证明:由定理１、1得,为微分方程(１。１)得积分因子得充要条件为 　 , 　　展开即得: —=、 上式整理即得(1。4). 　　　 　 　 　　 　 　 　 证毕 　注1、１ 　若,则(１、3)与(１.１)同解。所以,欲求(1。1)得通解,只须求出(1。3)得通解即可,而(１。3)就是全微分方程,故关键在于求积分因子。 为了求解积分因子,必须求解方程(1。4)。一般来说,偏微分方程(1。4)就是不易求解得;但就是,当具有某种特殊形式时还就是较易求解得。 二、特殊形式得积分因子得求法 情况1 当具有形式时,方程(1。４)化为 =, 即 　 ＝ 于就是得到: 定理２、1　微分方程(1.１)具有形如得积分因子得充要条件为 只就是得连续函数, 不含、　此时易得, 。 类似地 定理2、2 微分方程(1。1)具有形如得积分因子得充要条件为 只就是得连续函数, 不含。 并且, 、 例2。1 求得通解。　 解: 　因 =, 　故 . 方程两边同乘以得 , 即, 故通解为=, 即,(为任意常数)。 情况２　如果(1、1)具有形如得积分因子,　令,　则 =。 由(1、4)得 ＝, 于就是得到: 定理2。3 微分方程(1。1)具有形如得积分因子得充要条件为　只就是得连续函数,　此时积分因子为 , (为任意非零常数)、 例２。2　 求 得积分因子。 解:　因 = 故方程具有形如得积分因子, 取得, =。 情况3 如果(1。１)具有形如得积分因子, 令, 则=、 由(1、4)得 =, 于就是得到: 定理2、4　 微分方程(1、1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是 得连续函数, 此时积分因子为 , (为任意非零常数)。 例2、3　 求得积分因子。 解: 因　=, 故方程具有形如得积分因子,　取得　=。 情况 ４ 　一般地,　如果方程(1、1)具有形如得积分因子, 令, 则、 由(1、４)得 =, 于就是得到 定理２、5 　微分方程(1、1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是得连续函数, 此时积分因子为　,　(为任意非零常数)。 类似地, 我们有 定理2。6 微分方程(1.1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是得连续函数, 此时积分因子为 , (为任意非零常数). 例2、4　求 得积分因子。 解:　由　, 　=, 　易知, 欲使上式仅就是得函数, 只须等于常数即可。 为此, 令 , , 得 , . 此时　=-１。 取得。 三、一般理论 定理 ３、1　如果就是微分方程(1。１)得积分因子,　(1。1)乘以后得到(1。3). 设(1.3)得左端为, 则仍就是(1、1)得积分因子、 其中, 就是任何可微函数。 定理 3.2 　在(１、１)中, 若与在长方形区域上连续,且在上处处不为零。 对于(1、1)得任何两个在上处处连续且恒不为零得积分因子, (从而, 在上不变号),　设 . 则在内任一点, 可定出一邻域,　在此邻域内, 只就是得函数、 上述两定理得证明可参见参考文献[3］. 注 3、1 由定理3、1与定理3。２ 即知, 设就是(1。1)得积分因子,　(1。3)得左端为, 则(1。1)得积分因子通式为. 其中, 就是任何可微函数。 例3、1 求 得积分因子及通解. 解: 重新组合:　, 对于前一个括号内可求得一个积分因子,　乘之得　.　故前一个括号内可取积分因子通式为. 同样可得后一个括号内得积分因子通式为、 下面求出, , 使得=、 设　, ,　即有 =, 于就是得 ,　解得, 、　从而即得原微分方程得一个积分因子为, 用乘以方程得两边可求得通积分为