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利用导数解决生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题，主要有以下 几个方面：1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本 有关的最值问题；4、效率最值问题。 一.解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函 数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间求函数取值的情境， 即核心问题是建立适 当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程 中，导数是一个有力的工具. 二?利用导数解决优化问题的基本思路： 三、应用举例 例1 (体积最大问题) 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长 与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为 x(m)，则长为2x(m)，高为 18 12x44.5 3x(m) 03 18 12x 4 4.5 3x(m) 0 x —.故长方体的体积为 2 V(x) 2x2(4.5 3x) 9x2 6x3(m2) 0 x - 2 从而 V (x) 18x 18x2 18x(1 x). 令V (x) 0 ,解得x 0 (舍去)或x 1，因此x 1 ? 3 当 0 x 1 时，V(x) 0 ；当 1 x 时，V (x) 0. 2 故在x 1处V (x)取得极大值，并且这个极大值就是 V(x)的最大值. 从而最大体积V V(1) 9 12 6 13 3(m3)，此时长方体的长为 2m，高为1.5m . 答：当长方体的长为 2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为 3m 3. 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的 围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。 例2 (帐篷设计问题) 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部 的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点 0到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m) 3 (x 1)32 (x 1)26 3 ( ,8 2x x2)243.3 3 (x 1) 32 (x 1)2 6 3 ( ,8 2x x2)2 4 3.3 丁(8 2x x2) m2 帐篷的体积为V(x) 求导数，得 V(x) 时，V (x) 最大。即当 点评： 3 3 2 (8 2x x2) 2 ? 3 2 (12 3x )令 V (x) 0 解得 2 为增函数；当2x4时，V(X) 如1) ￡16 12x X3) m3 x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2 0 ,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x) 0 ,V(x) OO为2m时，帐篷的体积最大。 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识， 以及运用数学 求解关键是设法构建函数关系，将实际问题如何转化为数学问题， 知识解决实际问题的能力。 再利用导数求解? 例3 (瞬时速度问题)若已知某质点的运动方程为 S(t)= ,t2 1 — at ,要使在t € [0, + g]上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，数a的取值围。解：S (t)=_t_t2 1 g]上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于 1，数a的取值围。 解：S (t)= _t_ t2 1 ?- I S (t)| W1C|W 1, _t_ 厂1 _t ~t2 ，即 1 当 t € [0,+ _t -t2 当t +g时， Jt2 1 1, 1, 1. t2 1 1 ) min=1 ,.°. a W 1. 且 €t2 t -连续递增，所有值都小于 1 t的瞬时速度?② 求出 a的取值围..a0. 故实数a的取值围是0 t的瞬时速度?② 求出 a的取值围. 点评：①质点运动方程 S(t)的导数S⑴的物理意义就是质点在时刻 利用导数的物理意义列出不等式 ，根据不等式在t € [0, + g〕上恒成立， 例4 (容器的容积最大) 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先 在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转 90角，再焊接而成?问该容器的高为多 少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：设容器高为xcm,容器的容积为 V(x)cm3，则 V(x) = x(90 — 2x)(48 — 2x) = 4x 3 — 276x 2 + 4320x (0 V x V 24) ? 求 V (x)=12x2 — 552x + 4320 = 12(x 2 — 46x + 360) = 12(x — 10)(x — 36). 令V(x) = 0 ,得 x1= 10 , x2 = 36 (舍去), 当0