高中数学必修四向量学习知识点学习.docx

向量知识点总结 一、向量的概念 1）向量：既有大小，又有方向的量； 2）数量：只有大小，没有方向的量； 3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； 4）零向量：长度为 0 的向量； 5）单位向量：长度等于 1个单位的向量； 6）平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的 非零 向量．零向量与任一向量平行； 7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算 ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： r r r r r r a b a b a b ． ⑷运算性质： r r r r ①交换律： r r r r r r a b b a ；②结合律： a b c a b c ； C r r r r r ③ a 0 0 a a 。 r r r r r x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 a r ⑸坐标运算： 设 a ，b ，则 a b 。 三、向量减法运算 b ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量； r uuur uuur uuur r r x2 , y2 r r x1 x2 , y1 y2 r ⑵坐标运算： 设 a x1 , y1 ，b ，则 a b ，a b C C 设 、 两 点 的 坐 标 分 别 为 x1, y1 ， x2 , y2 ， 则 uuur x1 x2 , y1 y2 。 四、向量数乘运算 r r ⑴实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ； r r ① a a ； ②当 0 时， r r 的方向相同；当 0 时， r r a 的方向与 a a 的方向与 a 的方向相反；当 0 r r ； 时， a 0 ⑵运算律：① r r ；② r r r r r r r a a a a a ；③ a b a b ； ⑶坐标运算：设 r x, y ，则 r x, y x, y ； a a 五、向量共线定理 r r r r r r 向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a ； a x1 , y1 r x2 , y2 r r x1 y2 x2 y1 0 r r r b ，其中 b 0 ，则当且仅当 a b b 0 设 r ， 时，向量 r 、 共线； 六、平面向量基本定理 ur uur r 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只 r ur uur ur uur 有一对实数 1 、 2 ，使 a 1 e1 2 e2 ．（ 不共线 的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量 的一组基底） 七、分点坐标公式 uuur uuur x1 , y1 ， x2 , y2 设点 是线段 1 2 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 ，当 1 2 时， 点 的坐标是 x1 x2 , y1 y2 ； 1 1 八、平面向量的数量积 r r r r r r r r o 180 o ．零向量与任一向量的数量积为 0 ； ⑴ a b a b cos a 0,b 0,0 r r r r r r 0 r r r r r r ⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量， 则① a b a b ．②当 a 与 b 同向时， a b a b ； r r r r r r r r r 2 r 2 或 r r r r r r r 当 a 与 b 反向时， a b a b ； a a a a a a a ．③ a b a b ； r r r r r r r r r r ；③ r r r r r r r ⑶运算律：① a b b a ；② a b a b a b a b c a c b c ； r x1 , y1 r x2 , y2 r r x1 x2 y1 y2 ， ⑷坐标运算：设两个非零向量 a ， b ，则 a b r x, y r 2 x 2 2 r x 2 y 2 ； 若 a ，则 a y ，或 a r x1 , y1 r x2, y2 r r x1x2 y1 y2 0 ； 设 a ， b ，则 a b r r r r x2 , y2 r r 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ， a x1 , y1 ， b ， 是 a 与 b 的 夹 角 ， 则 r r x1x2 y1 y2 cos a b r r 2 2 2 2 ； a b x1 y1 x2 y2