高中数学必修4三角函数常考题型：正切函数的性质及图像.docx

正切函数的性质与图像 【知识梳理】 1．正切函数的性质 函 y＝ tan x 数 定 π x x≠kπ＋ ， k∈Z 义域 2 函 y＝ tan x 数 值域 (－ ∞，＋ ∞) 周期 T＝ π 奇偶性 奇函数 单调性 π π 在每个开区间 kπ－2， kπ＋ 2 (k∈ Z)上都是增函数 2．正切函数的图像 正切函数的图像： 正切函数的图像叫做正切曲线． 正切函数的图像特征： π 正切曲线是被相互平行的直线 x＝2＋ kπ， k∈ Z 所隔开的无穷多支曲线组成的． 【常考题型】 题型一、正切函数的定义域、值域问题 【例 1】 求下列函数的定义域和值域： (1) y＝ tan x＋ π ； (2)y＝3－tan x. 4 π π [ 解 ] (1) 由 x＋ 4≠kπ＋ 2(k∈ Z)得， π x≠kπ＋ 4， k∈ Z ， π π 所以函数 y＝ tan x＋4 的定义域为 xx≠kπ＋4， k∈ Z ，其值域为 (－ ∞，＋ ∞)． (2) 由 3－ tan x≥0得， tan x≤ 3. 结合 y＝ tan x 的图像可知，在 π π －2， 2 上， 满足 tan x≤ 3的角 x 应满足－ π π 2 x≤ ， 3 所以函数 y＝ 3－tan x的定义域为 π π ， k∈ Z ，其值域为 [0，＋ ∞)． x kπ－ 2x≤kπ＋3 【类题通法】 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函 π 常利用三角函数的图像求解． 解 数 y＝ tan x 有意义，即 x≠ ＋kπ，k∈ Z .而对于构建的三角不等式， 2 形如 tan xa 的不等式的步骤： 【对点训练】 1 求函数 y＝ 的定义域． 1＋ tan x 解：要使函数有意义，则有  1＋ tan x≠0， π ∴ tan x≠－ 1，∴ x≠kπ－ 4且  π x≠kπ＋ 2， k∈ Z. 1 因此，函数 y＝ 的定义域为 1＋tan x π π . x x≠kπ－ 且 x≠kπ＋ ， k∈ Z 4 2 题型二、正切函数的单调性及应用 【例 2】 (1)求函数 y＝ tan 1 π 2x－ 4 的单调区间； 13 π 12 π (2) 比较 tan － 与 tan － 5 的大小． 4 π 1 π π [ 解 ] (1) 由 kπ－ 22x－4kπ＋ 2(k∈ Z)得， π 3π 2kπ－2x2kπ＋ 2 ，k∈ Z ， 1 π π 3π 所以函数 y＝ tan 2x－4 的单调递增区间是 2kπ－ 2， 2kπ＋ 2 (k∈ Z)． (2) 由于 tan － 13π ＝ tan － 4π＋ 3π 3π π 12π ＝－ tan 2π＋ 2π 2π 4 4 ＝ tan 4 ＝－ tan ，tan － 5 5 ＝－ tan 5 ， 4 π 2π π 又 04 5 2， π 而 y＝ tan x 在 0， 2 上单调递增， π 2π π 2π 所以 tan tan ，－ tan － tan ， 4 5 4 5 即 tan －13 πtan － 12 π. 4 5 【类题通法】 1．求函数 y＝Atan(ωx＋ φ)( A， ω， φ都是常数 )的单调区间的方法 (1) 若 ω0，由于 y＝ tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用 “整体代换 ”的思想，令 π π kπ－ ωx＋ φkπ＋ ，求得 x 的范围即可． 2 2 若 ω0，可利用诱导公式先把 y＝ Atan(ωx＋φ)转化为 y＝ Atan[ － (－ωx－φ)] ＝－ Atan(－ ωx－ φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用 “整体代换 ”的思想，求得 x 的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． 运用单调性比较大小关系． 【对点训练】 1．比较 tan 1， tan 2， tan 3 的大小． 解：因为 tan 2＝ tan(2－ π)， tan 3＝ tan(3－ π)． 又因为 π π 2π，所以－ 2 2－π 0. 2 π π 因为 23π，所以－ 23－ π 0. 显然－ π π 2 － π 3－ π 1， 2 2 π π 又 y＝ tan x 在 － 2， 2 内是增函数，所以 tan(2－ π)tan(3－ π)tan 1， 即 tan 2tan 3tan 1. π 2．求函数 y＝ 3tan 4－ 2x 的单调区间． π π 解： y＝ 3tan 4－ 2x ＝－ 3tan 2x－ 4 ， π π π 由－ 2＋ kπ2x－ 42＋ kπ得， π k 3π k － ＋ 2πx ＋ 2π