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第十二讲 因式分解(四) 知识模块一、因式定理与试根法 知识梳理 一、因式定理 n n− 1 1．因式定理：若多项式f(x) a x +a x +…+a x+a 有一个因式(x−a) ，则f(a)=0 。反之，如果f(a)=0 ， 0 1 n− 1 n 则(x−a)必为多项式f(x) 的一个因式。 得到一个因式以后，剩余的因式可以通过大除法或者综合除法得到。 2 ．多项式有理根的性质 p 有理根c 的分子p 是常数项a0 的因数，分母q 是首项系数an 的因数 q 二、试根法 n n− 1 1．对于整系数多项式f(x) a x +a x +…+a x+a 。 0 1 n− 1 n （1）性质1：若首项系数a =1 ，且它有因式(x−q) (q 为整数) ，则q 一定是常数项a 的因数； 0 n （2 ）性质2 ：若首项系数a ≠1 ，且它有因式(px −q) (p ，q 为两个互素的整数) ，则p 一定是首项系数a 0 0 的因数，分母q 是常数项an 的因数。 2 ．试根法，对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，若能找到方程f(x)=0 的根x q(或x q ) ，即找到了f(x) 的一个因式(x−q)或(px −q) 。剩余部分可用因式分解的常用方法来求得。 p 3 2 例1．（1）分解因式：2x −x −5x−2 。 3 2 （2 ）分解因式：3x +x +x−2 。 4 3 2 例2 ．（1）分解因式：8x +6x − 19x +3x+2 。 6 5 4 3 2 （2 ）分解因式：x +2x +3x +4x +3x +2x+1 。 知识模块二、待定系数法 知识梳理： 如果两个多项式恒等(即不管未知数取什么值，式子的值都一样，注意分清未知数和参数) ，则左右两边 同类项的系数相等。 n n− 1 n−2 1 n n− 1 n−2 1 即：如果a x +a x +a x + …+a x +a b x +b x +b x +…+b x +b ，那么a b ；a b ；……， n n− 1 n−2 1 0 n n− 1 n−2 1 0 n n n− 1 n− 1 a b ，a b 。 1 1 0 0 如果一个高次的式子找不到有理根，说明没有一次因式，则因式是更高次数的。这时候可以考虑把分解 后的因式的系数都设出来，相乘以后与原式比较，从而解出系数。设系数的时候注意配合已知的最高次项系 数和常数项，尽量少设未知数。 2 例3 ．阅读下列材料：已知二次三项式2x +5x+m 有一个因