第12章 稀疏表示及其应用.ppt

第12章 稀疏表示及其应用 孙延奎 清华大学计算机科学与技术系 内容提要 从小波表示到稀疏表示 典型分析式字典设计 超完备字典及学习式字典 稀疏表示模型 模型求解方法 字典学习 图像去噪 图像分类 从信号的小波表示到稀疏表示 小波分析研究的核心在于建立时频分解、构造小波正交基或Xlet，利用小波基可获得信号的稀疏表示。 信号的稀疏性表示已成为一个重要研究方向，其中冗余字典代替了标准正交基。 本课程将讲授稀疏表示模型、稀疏编码与字典构建，以及稀疏表示在图像去噪和图像分类中的应用 如果一个信号中只有少数几个元素是非零的，那么该信号就是稀疏的。但是在一般的情况下，时域内的自然信号都是非稀疏的，只有在某些变换域中才可能是稀疏的。 a）Lena图像 b）12%幅值最大的 小波系数重构 c）8%幅值最大的 小波系数重构 图 6-3 对于什么类型的一维信号，它的正交小波基具有很好的稀疏表示？ 对于二维数字图像，它的二维可分离小波正交基的稀疏表示如何？ （a）2D-DWT表示时用较多小波系数 (b) 方向性小波表示时用较少小波系数 曲线边界的二维小波表示 虽然具有较好的频率和空间局部化特性，但是不具备对人眼方向的敏感性。这表明，二维小波不能充分利用图像数据本身特有的几何特征，不是最优的或者说“最稀疏”的图像表示方法。 图像的多尺度几何分析方法 脊波（Ridgelet） 曲波（Curvelet） 轮廓波（Contourlet） Bandelet ….. 压缩传感（Compressed Sensing，CS）理论 传统的信号获取和处理过程主要包括采样、变换、压缩和重构四个部分 压缩感知理论指出：信号的近似重构与信号的带宽之间并无绝对必然的联系，当信号具有稀疏性和可压缩性时，可以通过采集少量的从高维空间到低维空间的信号投影值来实现信号的准确或近似重构。 压缩传感理论可以认为是一种特殊的稀疏表示方法，它主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面 信号稀疏表示 如何用更少的稀疏数据，逼近地表示原始信号发展成为了一个研究主题，即信号稀疏表示及其应用。 信号的稀疏表示用已构建的字典的少数原子的线性组合表示信号。字典中的元素是表示信号的基元，称为原子。 在稀疏表示中，字典的构建是关键 经历了从正交基到适当冗余的紧框架，以及从紧框架到超完备字典的发展过程 经历了从“基于数据的数学模型设计字典“到“直接从数据中学习字典” 的重要转变 稀疏表示的主要研究内容及应用 研究内容 稀疏表示模型、稀疏编码和字典构建 应用 在图像去噪、图像恢复、压缩传感、多源分离、图像超分辨、图像分割，及人脸识别、图像分类等 分析式字典设计   （近似）紧框架的性质 对于紧框架 A=B，有 当0𝐴≤𝐵2时， K个标准正交基的并是紧框架 分析式字典设计方法 快速傅里叶变换（FFT）基字典 FFT采用的正交基字典为 ，因三角基函数 缺乏局部支撑性，因而FFT特别适合分析平稳信号。对于有限长信号，FFT隐含假定信号是周期延拓的，因而引入了边缘处的不连续性。 离散余弦变换DCT假定信号是反对称延拓的，在信号边缘处是连续的，因而，DCT比FFT能够得到信号更稀疏的表示。而且，DCT还具有变换系数无虚部的优点，因而，2D DWT在图像编码中获得了广泛应用。 FFT和DCT采用固定基字典分析信号，是与信号无关的线性变换方法 KLT基字典 KLT是一种与信号相关的线性变换方法，已知数据协方差矩阵 ，则KLT原子是 如下特征值分解的前K个特征向量： 与DCT相比，KLT产生自适应的信号基字典，将信号投影到低维线性空间，稀疏表示性能更好。但KLT缺乏快速算法，影响了它的实际应用，通常用DCT作为KLT的一个良好逼近。 短时傅里叶时频框架字典 如何对时频参数 和 进行离散采样 ，能使 构成 的框架，从而 构成信号f 完全和稳定的表示? Daubechies给出了窗函数取高斯函数 时（此时 = ）的主要结论： 离散小波时频框架字典   小波包字典   具有几何不变性的小波字典 具有平移不变性的字典 二进小波字典 双树复小波字典 可操控小波变换（Steerable wavelet transform） 方向小波字典 的二进方向小波变换为 类