将军饮马模型(终稿)-将军饮马最大值模型[参考].pdfVIP

将军饮马模型 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天， 一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样 走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后， 这个被称为 “将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l 上找一个动点P ，使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小. 作法：连接AB ，与直线l 的交点Q ， Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点Q 处， PA+PB 最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB ，与直线l 的交点Q ，P 为直线l 上任意一点， 在⊿PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧AB( 当且仅当PQ 重合时取﹦) 1 将军饮马模型 例2：在定直线l 上找一个动点P ，使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小， 即PA+PB 的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B 关于定直线l 的对称点C ，连接AC ，与直线l 的交点Q 即为所要寻找的 点，即当动点P 跑到了点Q 处，PA+PB 和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC ，与直线l 的交点Q ，P 为直线l 上任意一点， 在⊿PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC ≧AC( 当且仅当PQ 重合时取﹦) 2.两动一定型 例3 ：在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得△BAC 周 长最短． 作法：作点A 关于OM 的对称点A’ ，作点A 关于ON 的对称点A’’ ，连接A’ A’’ ，与OM 交于点B ，与ON 交于点C ，连接AB ，AC ，△ABC 即为所求． 原理：两点之间，线段最短 2 将军饮马模型 例4 ：在∠MON 的内部有点A 和点B ，在OM 上找一点C ，在ON 上找一点D ，使得四边 形ABCD 周长最短． 作法：作点A 关于OM 的对称点A’ ，作点B 关于ON 的对称点B’ ，连接A’ B’ ，与OM 交于点C ，与ON 交于点D ，连接AC ，BD ，AB ，四边形ABCD 即为所求． 原理：两点之间，线段最短 3. 两定两动型最值 例5：已知A 、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与N ，且MN 长度等于定长 d （动点M 位于动点N 左侧），使AM+MN+NB 的值最小. 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 作法一：将点A 向右平移长度d 得到点A’ ， 作A’关于直线l 的对称点A’’ ，连接A’’B ， 交直线l 于点N，将点N 向左平移长度d，得到点M 。 作法二：作点A 关于直线l 的对称点A ，将点A1 向右平移长度d 得到点A ，连接A 1 2 2 B ， 交直线l 于点Q，将点Q 向左平移长度d，得到点Q。 原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN 3