2015高考数学(文)试题+精品试题考点解析-利用柯西不等式求最值.docVIP

PAGE 利用柯西不等式求最值 2015年陕西卷文-24. 选修4-5：不等式选讲 【原题】已知关于的不等式的解集为 ( = 1 \* ROMAN I)求实数的值； ( = 2 \* ROMAN II)求的最大值. 【答案】( = 1 \* ROMAN I) ；( = 2 \* ROMAN II). 【考点定位】1.不等式与方程；2.柯西不等式. 试题揭秘： 【试题解析】 ( = 1 \* ROMAN I)由，得则，解得 ( = 2 \* ROMAN II)方法一（柯西不等式法）： 当且仅当即时等号成立， 故 【命题意图】本题考查不等式与方程的关系，涉及柯西不等式求最值，属于基础题. 【方法、技巧、规律】1.柯西不等式揭示了任意两组实数之积的平方与平方和之积间的关系，应用它可以证明很多复杂的不等式；2.用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件. 【探源、变式、扩展】有些证明不等式题表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、猜测、推理等. 【变式】【2015江苏学易大联考】求函数：最大值． 【答案】 【命题意图】本题考查柯西不等式等知识 ，意在考查运算求解能力. 试题精粹： 1.【2013湖南理】已知 . 【答案】 12 . 考点：柯西不等式. 2.【2015成都月考】对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为 ． 【答案】-2 考点：不等式的解法及其应用 3.【河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试，理24】己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为 (I)求长方体体积的最大值： (II)设，求的最大值 考点：1、基本不等式；2、柯西不等式. 4.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理21（3）】（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 （Ⅰ）证明二维形式的柯西不等式： （Ⅱ）若实数满足求的取值范围. 5.【2015冀州中学高三上学期第一次月考，理23】（10分）选修4-5：不等式选讲 设函数的最大值为M． （Ⅰ）求实数M的值； （Ⅱ）求关于的不等式的解集． 【答案】（Ⅰ）3；（2）. 6.【2014陕西高考理第15A题】设，且，则的最小值为 【答案】 7.【2013年高考陕西】已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 . 【答案】2 8.【2014届高考试模拟 (五)】已知实数满足，，则a的最小值与最大值之差为 . 【答案】-1 【解析】由柯西不等式，得， 即，由条件，可得，解得，当且仅当时等号成立，故最小值与最大值之差为-1. 9. 【2014届湖北省荆州市质检二】设、、为正数，，则的最大值是 ，此时 . 10.【2014年福建省漳州质量检查】已知且，若恒成立， (Ⅰ)求的最小值； （Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（I）3；（II）或