因式分解常用方法总结计划方法总结计划最全最详细.docx

. 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： 1 ）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解； 2 ）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b) ； (2) (a ±b) 2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2 =(a ±b) 2； (3) (a+b)(a 2 -ab+b 2 ) =a 3 +b 3 ---------a 3 +b 3 =(a+b)(a 2-ab+b 2 ) ； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2 ) = a 3 -b 3 --------a 3-b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )． 专业资料 . 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ； (6)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca) ； 例 . 已知 a，b， c 是 ABC 的三边，且 a2 b2 c2 ab bc ca ， 则 ABC 的形状是（ ） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca ( a b)2 (b c) 2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式 例 1 、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 = ( am an) (bm bn) = a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！ = ( m n)( a b) 例 2 、分解因式： 2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解 ： 原 式= (2ax 10ay) (5by bx ) 原 式 = (2ax bx) ( 10ay 5by) = 2a( x 5y) b( x 5y) = x( 2a b) 5y(2a b) = (x 5y)( 2a b) = (2a b)( x 5y) 练习：分解因式 1、 a2 ab ac bc 2 、 xy x y 1 专业资料 . （二）分组后能直接运用公式 例 3 、分解因式： x2 y 2 ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式 = ( x 2 y 2 ) ( ax ay ) = ( x y)( x y) a( x y) = ( x y)( x y a) 例 4 、分解因式： a2 2ab b 2 c 2 解：原式 = ( a2 2ab b2 ) c2 = ( a b) 2 c2 = ( a b c)(a b c) 练习：分解因式 3、 x2 x 9y 2 3y 4 、 x2 y 2 z2 2 yz 综合练习：（ 1 ） x3 x 2 y xy 2 y3 （ 2 ） ax2 bx 2 bx ax a b （ 3 ） x2 6 xy 9 y 2 16 a 2 8a 1 （4 ） a 2 6ab 12b 9b2 4a （ 5 ） a 4 2a 3 a 2 9 （ 6 ） 4a 2 x 4a 2 y b2 x b2 y （ 7 ）x 2 2xy xz yz y 2 （ 8 ）a 2 2a b 2 2b 2ab 1 （ 9 ） y( y 2) (m 1)(m 1) （10 ） (a c)(a c) b(b 2a) （ 11 ） a2 (b c) b2 (a c) c 2 (a b)