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平面向量 知识要点 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向 . (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示： a； (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a｜ . (4)特殊的向量：零向量：零向量的方向是任意的。但我们规定：零向量的方向与任一向量 平行。零向量的方向不确定，但模的大小确定。 a＝ O ｜ a｜＝ O. 单位向量：单位向量是指模等于 1 的向量。由于是非零向量，单位向量具 有确定的方向。 aO 为单位向量 ｜ aO｜＝ 1. 相等向量：大小相等，方向相同 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量。a=-bb=-aa+b=0 (7)平行向量  (共线向量  )：方向相同或相反的向量，称为平行向量  .记作  a∥ b.平行向量也称为 共线向量 . 2.两个向量的关系 ⑴ 平行（共线）：平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 向量，记作： a∥b ，规定零向量和任何向量平行。 ⑵ 重合、相交 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点 . 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 . 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 . 垂心：三角形三边上的高相交于一点 . 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 . 3.向量的运算：三角形法则、平行四边形法则  a、b  叫做平行 4.向量的线性组合： 5.分向量 向量训练 1.下列命题中是假命题的是 ( ) r r r r r r r r r r (A) 若 a b, b c ，则 a c . (B) 2 a b 2a 2b r 1 r r r (D) r r r r (C) 若 a b ，则 a∥b . 若 a b ，则 a b 2 r r 1 ，那么向量 r 用单位向量 r ） 2．如果向量 a 与单位向量 e 方向相反，且长度为 2 a e 表示为（ r 1 r r r r 1 r r r （ A） a e； （ B） a 2e ； （C） a 2 e； （ D） a 2e ． 2 3.下列命题正确是（ ） A．长度相等的两个非零向量相等 B．平行向量一定在同一直线上 C．与零向量相等的向量必定是零向量 D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 4.已知 a 2 ， b 4 ，且 b 与 a 反向，如果用向量 b 表示向量 a ，那么 a = ． 5 如图，正方形 ABCD中， M 是边 BC 上一点，且 BM= 1 BC，若 AB a ， AD b ，则 DM _______ . 4 （用 a 和 b 表示） 6.已知：平行四边形 ABCD，点 M，N 分别是边 DC,BC的中点，射 线 AM 与 BC相交于点 E。 设： AB = a ， AD = b ，分别求向量 AM ， AN ， AE 关于 a ， b 的分解式。 E D M C N A B 7.在三角形 ABC中，已知 AB = a ， BC =b ， G 是重心，请写出 AG 关于 a ， b 的分解式。 A G E B D C 8．（本题满分 10 分） 如图，已知 l1 // l 2 ，点 A、 G、B、 C 分别在 l1 和 l 2 上， AF （1）求 AG 的值； BC uuur ruuur r r r （2）若 AB a ， AC b ， 用向量 a 与 b 表示 AG ． 9．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 uuur r uuur 已知：如图 7， EF是△ ABC的中位线，设 AF a ， BC uuur uuur r r （ 1）求向量 EF 、 EA （用向量 a 、 b 表示）； uuur uuur uuur 2）在图中求作向量 EF 在 AB 、 AC 方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）  AB ． G A l1 F B C l 2 分） r A ． E F B C 图 7 10.（本题满分 10 分，其中第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分） uuur r 如图，已知在平行四边形 ABCD 中， M 、 N 分别是边 AD、DC 的中点，设 AB a ， uuur r AD b . uuuur uuuur r r （1）求向量 MD、MN （用向量 a、b 表示）； uuuur uuur uuur 2）求作向量 MN 在 AB、 AD 方向上的分向量 . （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）