垂径定理第一课时和第二课时.ppt

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 * § 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第1课时） 难点：垂径定理的题设和结论的区分，垂径定理的应用 重点：垂径定理 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 活 动 二 （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ [验证篇] ⌒ 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合， AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直径CD平分弦 AB，并且平分AB及ACB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 叠合法 The exploration discovered · O A B C D E 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 CD⊥AB ∵ CD是直径， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 [结论篇] 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC 注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。 O E D C B A The exploration discovered 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！ 我学习，我快乐 Ramming foundation 练习 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 我成功，我快乐 变式1：AC、BD有什么关系？ O A B C D 变式2：AC＝BD依然成立吗？ 变式3：EA＝____, EC=_____。 变式4：______ AC=BD. 变式5：______ AC=BD. Ramming foundation 学会作辅助线 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 Ramming foundation O · A B E 变形2、CE=8,DE=2,则AB= 。 D C 变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离 是 。 变形3、CD=10,AB=8,则DE= 。 3 8 2 若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E, ∟ 到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？ 垂径定理的应用——构建直角三角形 · O A B C R d 2 a 半弦 AC= 半径 OA=R 弦心距 OC=d 2 2 2 2 a d R ） （ + = 弓高为h h=R±d 如图，两个圆都以点O为圆心， 求证:AC=BD． O · A B · C D 活动4 § 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第2课时） 难点：垂径定理推论的题设和 结论的区分 知识点: 1.圆的对称性 2.垂径定理及其推论应用 重点：垂径定理的推论 § 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第2课时） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 命题（1）：平分弦（不是直