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数学归纳法适用范围 主要用于研究与正整数有关的数学问题 数学归纳法的关键与难点 必威体育精装版.课件 * 用框图表示为: 验证n=n0时命题成立。 若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n0开始的所有的自然数n都成立。 归纳奠基 归纳递推 注:两个步骤,一个结论,缺一不可 必威体育精装版.课件 * 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n=k时命题成立.作为必用的条件运用,而n=k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 必威体育精装版.课件 * 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立; (2)假设当n=k时,等式成立,即 那么 这就是说,当n=k+1时,等式也成立, 由(1)和(2)可以断定,等式对任何n∈N+都成立。 必威体育精装版.课件 * 课堂练习 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 例2.证明:平面上n个圆最多把平面分成n2-n+2个区域。 证明:(1)一个圆将平面分成2个区域,而当n=1时,n2-n+2=2,因此结论当n=1时成立; (2)假设当n=k时,结论成立,即k个圆最多把平面分成k2-k+2个区域。 在此基础上,为使区域最多,应使新增加的圆与前k个圆都交于两点,于是新增2k个交点, 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 2.3 数学归纳法 必威体育精装版.课件 * 从前,有个小孩叫万百千,他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天,他想先生一定是教“三”字了,并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论:“四”一定是四横,“五”一定是五横,以此类推,…从此,他不再去上学,家长发现问他为何不去上学,他自豪地说:“我都会了”。家长要他写出自己的名字,“万百千”写名字结果可想而知。” 必威体育精装版.课件 * 犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况,并不是所有的字都是这样写的,他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。 万百千在学习上犯了什么错误? 必威体育精装版.课件 * 对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情况,归纳出一般结论的推理方法,叫归纳法。 归纳法 { 完全归纳法(枚举法) 不完全归纳法 归纳推理是合情推理,它可以帮助我们发现规律,但是不能用来证明数学结论,数学归纳法是一种特殊的直接证明方法,专门用来证明与自然数相关的命题。 必威体育精装版.课件 * 阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答:能使所有的牌倒下的条件是什么? 两个基本条件: (1)要推倒第一块牌; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块牌倒下能导致后一块牌倒下(连续性) 必威体育精装版.课件 * 研读教材P92-P93思考 1.数学归纳法的定义 2.数学归纳法适用范围是什么? 3.数学归纳法的步骤(原理)是什么? 4.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 5.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话? 必威体育精装版.课件 * 数学归纳法的定义 一般地, 证明一个与正整数n有关的命题, 可按下列步骤成立: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立;证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两步骤, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件
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