1全国高中数学联赛试题解答.docx

二○○一年全国高中数学联合竞赛题 10 月 4 日上午 8：00—9：40） 号 一 二 三 合 加 成 14 15 13 得分 卷人 复核人 学生注意： 1、本 卷共有三大 （ 15 个小 ），全卷 分 150 分。 2、用 珠笔或 笔作答。 3、解 写不要超 装 。 4、不能使用 算器。 一、 （本 分 36 分，每小 6 分） 本 共有 6 个小是 ，每 均 出（ A ）（ B）（ C）（ D）四个 ，其中有且 有一个是正确的。 将正确答案的代表字母填在 后的括号内，每小 得 6 分；不 、 或 的代表字母超 一个（不 是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1、已知 a 定的 数，那么集合 M={x|x 2-3x-a2+2=0,x ∈ R} 的子集的个数 （ A）1 （B）2 （C） 4 （ D）不确定 2、命 1： 方体中，必存在到各 点距离相等的点； 命 2： 方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命 3： 方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命 中正确的有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx| 中以 周期、在（ 0， ）上 增的偶函数是 2 A） y=sin|x|（ B） y=cos|x| 4、如果 足∠ ABC=60 °， AC=12 ， BC=k  （C） y=|ctgx| （ D） y=lg|sinx| 的⊿ ABC 恰有一个，那么 k 的取 范 是 （ A） k=8 3 （B） ≥12 ） 或 k=8 0k≤ 12（ C） ≥12 （ D） 0k≤2 5、若 (1+x+x2)1000 的展开式 a0+a1x+a2x2+ ? +a2000x2000, a0+a3+a6+a9+ ? +a1998的 （A ）3333 （ B ）3666 （C） 3999 （ D） 32001 6、已知 6 技玫瑰与 3 枝康乃馨和价格之和大于 24 元，而 4 技玫瑰与 5 枝康乃馨和价格之和小于 22 元， 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比 果是 （ A ）2 枝玫瑰价格高 （ B ）3 枝康乃馨价格高（ C）价格相同 （ D）不确定 填空 （本 分 24 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。 7、 1 的短 等于。 2 cos 3 8、若复数 z ,z 足 |z |=2,|z |=3,3z -2z -I, z z =。 2 1 1 2 1 2 1 2 2 9、正方体 ABCD— A1B1C1D1 的棱 1 ， 直 A1C1 与 BD1 的距离是。 10、不等式 1 2 3 的解集 。 log 1 x 2 2 11、函数 x 2 x 的 域 。 3 2 A 12、在一个正六 形的六个区域栽种 植物 （如 ），要求同一 中种同一种植物， F B 相 的两 种不同的植物。 有 4 种不同的植物可供 ， 有种栽种方案。 E C 二、 解答 （本 分 60 分，每小 20 分） D 13、 {a n} 等差数列， {b n} 等比数列，且 2 2 2 b1 a1 ， b2 a2 ， b3 a3 （ a1a2）, 又 lim (b1 b2 bn ) 2 1 ， 求 {a n} 的首 与公差。 n x 2 2 2 P。 1 2 a 2 1） 求 数 m的取 范 （用 a 表示）； 2） O 原点，若 C1 与 x 的 半 交于点 A，当 0a 1 ， 求⊿ OAP的面 的最大 （用 a 表示）。 2 15、用 阻 分 a1、a2、a3、a4、a5、a6、（ a1a2a3a4a5a6）的 阻 装成一个如 的 件，在 装中 如何 取 阻，才能使 件 阻 最小？ 明你的 。 二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （10 月 4 日上午 10：00—12：00） 学生注意：  1、本 卷共有三大 ，全卷 分  150 分。 2、用 珠笔或 笔作答。 3、解 写不要超 装 。 4、不能使用 算器。 一、（本 分 50 分） 如 ：⊿ ABC中， O 外心，三条高 AD、BE、CF交于点 H，直 ED和  AB 交于 点 M， FD和 AC交于点 N。求 ：（ 1）OB⊥ DF，OC⊥ DE；（2） OH⊥ MN。 二、（本 分 50 分） n 2 2 k 1 n xi ≥0(I=1,2,3, ? ,n) 且 ，求 的最大 与最小 。 xi j xk x j xi i 1 1 k