SAS学习系列34.因子分析报告.docx

实用标准文案 因子分析 （一）基本原理 一、概述 因子分析，是用少数起根本作用、相互独立、易于解释通常又是 不可观察的因子来概括和描述数据， 表达一组相互关联的变量。 通常 情况下，这些相关因素并不能直观观测。 因子分析是从研究相关系数矩阵内部的依赖关系出发， 把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计 分析方法。简言之，即用少数不可观测的隐变量来解释原始变量之间的相关性或协方差关系。 因子分析的作用是减少变量个数， 根据原始变量的信息进行重组，能反映原有变量大部分的信息； 原始部分变量之间多存在较显著的相关关系，重组变量（因子变量）之间相互独立；因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合和反映。 主成分分析是因子分析的特例。 主成份分析的目标是降维， 而因子分析的目标是找出公共因素及特有因素，即公共因子与特殊因子。 因子分析模型在形式上与线性回归模型相似， 但两者有着本质的区别：回归模型中的自变量是可观测到的， 而因子模型中的各公因子是不可观测的隐变量，而且两个模型的参数意义也不相同。 二、原理 精彩文档 实用标准文案 假 品 p 个指 （ 量） X1, ?, Xp，得到 矩 X， p 个指 量可能受 m( mp) 个共同因素 f1, ?fm的影响，再加上其它 影响因素。表示 ： 用矩 表示 X p 1 Ap m fm 1 ep 1 其中，共同影响因素 f1, ?fm是均 0 方差 1 的随机 量，称 公 共因子； Ap×m称 因子 荷矩 ， aji 是第 j 量在第 i 公共因子上的 荷，即 Xj 在坐 fi 上的投影； ei 是 量 Xi 所特有的因子， 均 0 方差 σi2，称 特殊因子。 各特殊因子之 及特殊因子与公共因子 之 都是相互独立的，即 COV(ei, ej)=0, COV( e, f)=0. 因子分析就是用 f1, ?fm代替 X1, ?, Xp, 达到降 的目的。 主成份分析中， 残差通常是彼此相关的。 因子分析中， 特殊因子起到残差的作用， 但被定 彼此不相关且和公因子也不相关。 而且每个公因子假定至少 两个 量有 献，否 它将是一个特殊因子。 在开始提取公共因子 ， 已假定它 彼此不相关且具有 位方差。故向量 X 的 方差矩 Σ可以表 Σ=D(X)=D(Af+e)=AA T+D 其中， D=diag(σ2 , ? σ2 若假定 X 已 准化，即每个 Xi 都均 0 1 , p ). 方差 1. 精彩文档 实用标准文案 Xi ai 1 f1 ai 2 f2 aim fm p a2 2 1 var( X ) i i 1 ij i m hi2 i2 , i 1,..., p . hi2 aij2 称 量共同度， 有 1 j 1 hi 2 反映了公共因子 f Xi 的影响（ 献），即 Xi 共同因素 f 的 2 h 2 接近 2 依 程度； σ 剩余方差，若 1，σ 很小， 表明因子分析 i i i 的效果好。 公共因子 fj Xi 的影响，可由 A 中第 j 列元素来描述， p 2 2 g a 称 公共因子 fj X 的 献，是衡量公共因子重要性的尺度。 aij 第 i 个 量与第 j 个公共因子的相关系数，反映了它 的相 关程度： 三、求因子 荷矩 若 X 的 方差矩 ∑和 D 已知， 根据∑ - D=AAT 求出 A A ( 11,22 , m m ) 其中，λ≥λ≥?λ * 相 的 12mλm+1 =?=λp=0 ∑ =∑-D 的特征 ， ξi 特征向量。 但在 中，并不知道∑和 D，就需要从 n 个 品， p 个指 的 np 个 本数据，估 因子 荷 a 2 常用的参 和特殊因子方差 σ ij i . 数估 法有：主成分法、主因子解法、极大似然法。 精彩文档 实用标准文案 （1）主成分法 本数据的 方差矩 ? ，其特征 λ1≥λ≥?≥λ≥2p 0, 相 的特征向量 ξ ? 做 分解： i. 当最后 p-m 个特征 小 ， ?= T T T 1 1 1 2 2 2 m m mD 先取 a1 1 1，看? a aT 是否接近 角矩 ，若是， 明只取一个 1 1 公共因子就行了，所有指 主要受到 一个公共因子的影响；若否， 再取 a 2 2 ，看 ? a aT a aT 是否接近 角矩 ?? 象主成分分 2 1 1 2 2 析一 ，直接取前 q 个特征 和特征向量， 使得它 的特征 之和占 全部特征 之和的 85％以上即可。此 ，特殊因子方差 ? q 2 2 i ii aki , i 1,..., p k 1