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求数列通项专题
题型一:定义法(也叫公式法)
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目
例:等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项。
解:设数列公差为 ∵成等比数列,∴,
即,得 ∵,∴………①
∵ ∴…………②
由①②得:, ∴
题型二:已知的关系求通项公式(或)
这种类型一般利用与消去
或与消去进行求解。
例:(1)已知数列的前项和,求数列的通项公式
解:当时,;
当时,;
(2)已知数列的前项和满足,求数列的通项公式
解:由,得,
练习:1、已知数列{}的前n项和为, 求.
2、数列的前n项和为,,,求的通项公式
题型三:形如用累加法(也叫逐差求和法):
(1)若f(n)为常数,即:,此时数列为等差数列,则=.
(2)若f(n)为n的函数时,用累加法. 方法如下: 由 得:
时,,
,
以上各式相加得
即:.
为了书写方便,也可用横式来写:
时,,
=.
例1:已知数列{an}中,a1=1,对任意自然数n都有,求.
解:由已知得,
,
……,
,
,以上式子累加,利用
得 -==,
例2:已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则
所以数列的通项公式为。
练习:
1、.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式. 答案:
2、.已知数列满足,,求此数列的通项公式. 答案:
题型四:形如用累乘法(也叫逐商求积法)
(1)当f(n)为常数,即:(其中q是不为0的常数),此时数列为等比数列,=.
(2)当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由得 时,,=f(n)f(n-1).
例1:已知数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,
即 又
例2:设是首项为1的正项数列,且(=1,2, 3,…),求.
解:已知等式可化为: ()
(n+1), 即
时, ==.
练习:
1、已知数列中,=1,=,求.
2、已知数列中,,,求.
题型五:待定系数法(也称构造新数列法,构造等差、等比数列)
形如,其中)型
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;
(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
法一:把中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
法二:对形如(为常数,,)通过
与原递推公式对比,恒等变成的方法,其中,
例1.已知数列中,求通项.
解:由得,
所以数列构成以为首项,以为公比的等比数列,所以,即 .
方法二:由 时,
两式相减得 ,
例2. 已知数列中,,,求.
解:设递推公式可以转化为即.
故,令,则,且
所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
练习:1、已知数列{an}满足a1=1,且an+1 =+2,求.()
题型六.形如型或 用倒数法
一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例1:已知,求。
解:取倒数:
是等差数列,
题型七.形如(其中p,q为常数)型
(1)当p+q=1时 用转化法
例1:数列中,若,且满足,求.
解:把变形为.
则数列是以为首项,3为公比的等比数列,则
利用类型6的方法可得 .
(2)当时 用待定系数法.
例2: 已知数列满足,且,且满足,求.
解:令,即,与已知
比较,则有,故或
下面我们取其中一组来运算,即有,
则数列是以为首项,3为公比的等比数列,故
,即,利用类型 的方法,可得.
用于
用于型已知条件
先写出数列前几项 观察数列变化规律猜测出通项后,用数学归纳法证明
(“退一步”思想)即由已知推出相邻的递推式后将两式作差化简得出结论
构造等差等比数列等)
公式法
叠加法
用于等差、等比数列相关公式
递推方法
猜想归纳法
构造辅助数列
叠乘法chengcheng 法
观察法
数列求通项的一般方法
与的关系
利用
易漏n=1哟!
用于型已知条件
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