2018寒假半角模型44304.docx

半角模型 过等腰△ ABC（AB=AC）顶角 A 引两条射线且它们的夹角为 ∠A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于 M 、N 两点，则 BM、 MN 、NC 之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A 相关 解决办法： 以 A 为中心，把 △CAN（顺时针或逆时针）旋转α度，至 △ABN’，连接 MN‘ 结论： 1、△ AMN≌△AMN’，MN=MN‘ 2、若 BM、MN’、 N‘B共线，则存在 x+y+z型的关系 若不共线，则 △BMN’中，∠ MBN‘必与 ∠A 相关 应用环境： 1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30°、45°、 60°、 75°90°，或它们的补角为这些特殊角度的时候； 2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形 3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边 4、此等腰三角形的相关弦 半角模型 1 且 1800. 条件： 2 思路：（1）、延长其中一个补角的线段 （延长 CD到 E，使 ED=BM，连 AE或延长 CB到 F，使 FB=DN，连 AF ） 结论：① MN=BM+DN ② C CMN 2AB ③AM、AN 分别平分 ∠BMN 和 ∠DNM （2）对称（翻折） 思路 :分别将△ ABM 和△ ADN 以 AM 和 AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P、N 三点共线 .（∠B+∠D=1800 且 AB=AD ） 例题应用：例 1、在正方形 ABCD中，若 M、 N分别在边 BC、CD上移 动，且满足 MN=BM+DN，求证：① . ∠MAN= 45 . C CMN2AB . AM、AN分别平分 ∠BMN 和∠DNM. 思路同上略 . 例 2 拓展：在正方形 ABCD中，已知 ∠ MAN= 45 ，若 M、N 分别在边 CB、DC的延长线上移动， ①. 试探究线段 MN、BM 、DN之间的数量关系 . . 求证： AB=AH. （提示） 例 3.在四边形 ABCD中， ∠B+∠D=180 ，AB=AD ，若 E、F 分别在边 BC、CD上，且满足 EF=BE+DF.求证： EAF 1 BAD. 2 （提示） 例 4，在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=2∠DAE=120°，若 BD=5， CE=8，求 DE。 例五 . 请阅读下列材料： 已知：如图两动点，若  1 在 Rt ABC 中， BAC 90 ， DAE 45 ．探究线段 BD 、 DE  AB AC，点 D 、 E分别为线段 BC上 、 EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把  AEC 绕点  A 顺时针旋转  90  ，得到  ABE  ，连结  E D  ， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式， 并对你的猜想给予证明； 2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时， 如图 2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． A A C D C B D E B E 图1 图 2 例6探究： 1）如图 1，在正方形试判断 BE、DF 与果：  ABCD中， E、F 分别是 BC、CD上的点，且 ∠ EAF＝45°， EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 ； （ 2）如图 2，若把 (1)问中的条件变为 “在四边形 ABCD 中， AB＝AD，∠B＋∠ D 180°，E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 ∠EAF=1 ∠ BAD”，则（ 1）问中的结 2 论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （ 3）在（ 2）问中，若将 △AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、F 运动到 BC、 CD延长线上时， 如图 3 所示，其它条件不变，则（ 1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给 出结论并予以证明 .. 练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD中，∠B=∠D= 90 ，AB=AD ，若 E、 EAF 1 BAD. 2 F 分别在边 BC、CD 上的点，且 . 求证： EF=BE+DF. （提示） 练习巩固 2，已知：正方形 ABCD 中， MAN 45o ，绕点 A 顺时针旋转，它 的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N． （ 1）如图 1，当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时，有 BM DN MN ．当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立， 请给予证明，如果不成立，请说明理由； 2）当 MAN 绕点 A 旋转到