数列与函数交汇的综合题.docVIP

数列与函数交汇的综合题 例1 已知函数（）。 （Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点； （ = 2 \* ROMAN II）在数列中，，（），求数列的通项公式。 解：（Ⅰ）由及得 或（舍去）， 所以或，即的实不动点为或； （ = 2 \* ROMAN II）由条件得，从而有 ， 由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有 （）。 例2 二次函数 （1）求并求的解析式； （2）若求数列 （3）若求符合最小自然数n． .解：（1） 　　 　　 又 （2）　　　　　 （3）　　 　　 例3 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为． ⑴求证：点的纵坐标是定值； ⑵若数列的通项公式为，求数列的前m项的和； 解：⑴由题可知：，所以， 点的纵坐标是定值，问题得证． ⑵由⑴可知：对任意自然数，恒成立． 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于： 所以， 所以， 例4 设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈N*）. (1) 求数列｛an｝的通项公式； (2) 若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与 Qn的大小，并说明理由. 解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=, ∴an+1==== -= -an. ∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n?1. （2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n， ∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n = a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n. 两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ∴T2n =+n×(-)2n?1=-(-)2n+(-)2n?1. T2n =-(-)2n+(-)2n?1=(1-). ∴9T2n=1-. 又Qn=1-， 当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； 当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； 当n≥3时，， ∴9T2 n＞Q n. 例5 已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。 （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。 解：（I） …… 将这n个式子相加，得 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个， （IV）设，即 则 显然，其极限存在，并且 例6已知：函数，数列对总有； （1）求{}的通项公式。 (2) 求和： （3）若数列满足： = 1 \* GB3 ①为的子数列（即中的每一项都是的项，且按在中的顺序排列） = 2 \* GB3 ②为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。 解（1）由，又 分 所以，是以为首项，为公差的等差数列，即分 （2）当为偶数， 所以 分 当为奇数，则为偶数， 分 综上： 分 （3）设，公比，则（）对任意的均成立，故是正奇数，又存在，所以 分 当时，，此时，，成立 分 当时，，此时故不成立 分 时，，此时，，成立 分 当时，，由，得，设，则，又因为，所以，此时或分别代入，得到不合题意分 由此，满足条件（3）的只有两个，即或 0分 例7已知函数 SKIPIF 1 0 且任意的 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0