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2
已知z=ln(2+2x +2y)在x=1,y=1 时的全微分和三个二
阶偏导数值。
解：先求函数z 的全微分：
2
∵z=ln(2+2x +2y),求全微分得：
4xdx+2dy
∴dz= ,
2
2+2x +2y
∂z 4x ∂z 2
则 = ， = ；
2 2
∂x 2+2x +2y ∂y 2+2x +2y
即当x=1,y=1 时，有：
4dx+2dy 2 1
dz(1,1)= = dx + dy 。
6 3 3
下面求二阶偏导数：
对 x 的一阶偏导数再次对x 求导，得：
2 2
∂ z 2[(2+2x +2y)-x*4x]
= ,
2 2 2
∂x (2+2x +2y)
2 2
∂ z 2(2-2x +2y)
= ,
2 2 2
∂x (2+2x +2y)
此时有：
2 2
. .
∂ z 4(2-2 1 +2 1)
(1,1)= ,
∂x2 . 2 . 2
(2+2 1 +2 1)
2
∂ z 2
(1,1)= 。
∂x2 9
对 x 的一阶偏导数再次对y 求导，得：
2 8x
∂ z
=- ，
∂x∂y 2 2
(2+2x +2y)
此时有：
2 8
∂ z
(1,1)=- ，
∂x∂y . 2 . 2
(2+2 1 +2 1)
2 2
∂ z
(1,1)=- 。
∂x∂y 9
对 y 的一阶偏导数再次对y 求导，得：
2 2
∂ z 2
=- ,此时有：
2 2 2
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