孙子问题与逐步约束法五年级.docxVIP

例 1 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3 ，除以 7 余 2 。求满足条件的最小自然数。 例 2 求满足除以 5 余 1，除以 7 余 3 ，除以 8 余 5 的最小的自然数。 例 3 在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有几个？ 例 4 求满足除以 6 余 3，除以 8 余 5 ，除以 9 余 6 的最小自然数。 例 5 学校要安排 66 名新生住宿，小房间可以住 4 人，大房间可以住 7 人，需要多少间大、小房间，才能正好将 66 名新生安排下？ 例 6 求不定方程 5x+3y=68 的所有整数解。 练习 一个数除以 5 余 4 ，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小自然数。 有一堆苹果， 3 个 3 个数余 1 个， 5 个 5 个数余 2 个， 6 个 6 个数余 4 个。这堆苹果至少有多少个？ 3.在小于 1000 的自然数中，除以 4 余 3 ，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的最大的自然数是 几？ 4.在 5000 以内，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 3 的自然数有多少个？ 5.有一个两位数，除以 2 与除以 3 都余 1 ，除以 4 与除以 5 都余 3，求这个数。 6.用 100 元钱去买 3 元一个和 7 元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？ 7.五年级一班的 43 名同学去划船，大船可坐 7 人，小船可坐 5 人，需租大、小船各多少条？ 子 与逐步 束法 在古 《 子算 》中有一道 ： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二， 物几何？ ”意思是： 有一堆物品， 三个三个数剩两个， 五个五个数剩三个， 七个七个数剩两个。求 堆物品的个数。 我 称 子 。 1 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3 ，除以 7 余 2。求 足条件的最小自然数。分析与解 ： 道例 就是《 子算 》中的 。 个 有三个条件，一下子不好解 答。那么， 我 能不能通 先求出 足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件， 达到最 解决 的目的呢？我 看。 足 “除以 3 余 2”的数，有 2， 5 ， 8， 11 ， 14， 17 ， ? 在上面的数中再找 足 “除以 5 余 3”的数， 可以找到 8，8 是同 足 “除以 3 余 2”、“除 5 余 3”两个条件的数，容易知道， 8 再加上 3 与 5 的公倍数，仍然 足 两个条件，所以 足 两个条件的数有 8， 23 ，38 ， 53， 68 ，? 在上面的数中再找 足 “除以 7 余 2”的数，可以找到 23 ， 23 是同 足 “除以 3 余 2”、 “除以 5 余 3”、“除以 7 余 2”三个条件的数。 23 再加上或减去 3， 5， 7 的公倍数，仍然 足 三个条件， [3， 5 ，7]=105 ，因 23 ＜ 105 ，所以 足 三个条件的最小自然数是 23 。 在例 1 中，若找到的数大于 [3， 5，7] ， 当用找到的数减去 [3， 5， 7]的倍数，使得 差小于 [3， 5， 7]， 个差即 所求的最小自然数。 例 2 求 足除以 5 余 1，除以 7 余 3 ，除以 8 余 5 的最小的自然数。 分析与解 ：与例 1 似，先求出 足 “除以 5 余 1”的数，有 6， 11 ，16 ， 21， 26 ， 31 ， 36 ， ? 在上面的数中，再找 足 “除以 7 余 3”的数，可以找到 31 。同 足 “除以 5 余 1”、“除 以 7 余 3”的数，彼此之 相差 5×7=35 的倍数，有 31 ， 66， 101 ， 136 ， 171 ， 206 ， ? 在上面的数中， 再找 足 “除以 8 余 5”的数， 可以找到 101 。因 101 ＜ [5，7 ，8]=280 ， 所以所求的最小自然数是 101 。 在例 1、例 2 中，各有三个 束条件，我 先解除两个 束条件，求只 足一个 束条 件的数，然后再逐步加上第二个、 第三个 束条件， 最 求出了 足全部三个 束条件的数。 种先放 条件，再逐步增加条件的解 方法，叫做逐步 束法。 3 在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有几个？解： 足 “除以 3 余 2”的数有 5， 8 ， 11， 14， 17 ， 20， 23， ? 再 足 “除以 7 余 3”的数有 17， 38 ，59 ， 80 ， 101 ， ? 再 足 “除以 11 余 4”的数有 59 。 因 阳 [3，7 ， 11]=231 ，所以符合 意的数是以 59