2020年8月8日山东卷21题解法赏析（每日一题）.pdf

2020 年8 月8 日每日一题 QQ 群：690891959 试题出处：2020 年新高考山东卷21 题 2020 年8 月8 日每日一题编辑郑长清 校对：付毓涛 指对混合，切线同构 已知函数f (x ) a ex −1 =−lnx +lna ． （1）当a e 时，求曲线y f (x ) 在点(1,f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； a （2）若f (x ) 1 ，求 的取值范围． 2 答案：（1） ；（2）[1,+) e −1 （1）解法一： 当a e 时，f (x ) e x =−lnx +1 ．所以f (1) e =+1 ． 1 又f (x ) e x =− ，所以切线斜率k f (1) e −1 ， x −2 则切线方程为 ，与 轴交于点A( ,0) ，与 轴交于点 ， y (e =−1)(x −1) +e +1 x y B(0,2) e −1 1 −2 2 所以围成的三角形面积为S =| |2 ． 2 e −1 e −1 （2）角度1：同构 解法1：构造同构式1 由f (x ) 1得aex −1 −ln x +ln a 1 ，即eln a+x−1 −ln x +ln a 1 ， 即eln a+x−1 +ln a + x −1ln x + x eln x =+ln x ． 令g (t ) et =+t ，g (t ) et =+10 ，所以 在 上单调递增， g (t ) R 则有g (lna +x −1) ≥g (ln x) ，则ln a + x −1ln x 恒成立． 即ln a ln x −x +1恒成立，只需ln a (ln x −x +1)max ． 1 1−x 令h(x) ln x =−x +1 ，则h (x) =−1 ， x x 则h(x) 在(0,1) 上单调递增，在(1,+) 上单调递减， 所以 ，则 ，则 ，故 的取值范围是 ． h(x) h(1) 0 ln a 0 a 1 a [1,+) 解题教师 四川成都姚钟 宋仕松 山东青岛张润东 湖南长沙邹定奇 湖南岳阳周军才 解法2：构造同构式2 x −1 x −1 ex x ex ex x x ex ex f (x ) 1 ae −lnx +lna 1 ae ln xe  ln e lne ln a a a a a ex 令g (x) x ln x （ ），原不等式等价于g (x ) g ( ) ， x 1