导数之构造法解决极值点偏移问题—解析版.pdfVIP

《作业推荐》—导数之构造法解决极值点偏移问题 例1.已知函数 () = ln − 2 ( ∈ )在定义域内有两个不同的极值点. （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）记两个极值点为 , ，且 ，求证： ⋅ 1. 1 2 1 2 1 2 【分析】 ′ ( ) （Ⅰ）由题意，方程 () = 0在 0, +∞ 有两个不同根,即方程1 + ln − 2 = 0有两个不同根；解法1：转化 1+ln ( ) 为函数 () = ln 与函数 = 2 − 1的图象在 0, +∞ 上有两个不同交点，解法2：转化为函数 () = 与 ( ) ′ ( ) ( ) 函数 = 2 的图象在 0, +∞ 上有两个不同交点；解法3；求出 ，讨论 的取值范围，求出函数 的单调 区间即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：由（Ⅰ）知： , 是1 + ln − 2 = 0的两个根， 1 + ln − 2 = 1 2 2 2 ln1 −ln2 ln1−ln2 2 0 ⇒ 2 ，然后利用分析法要证1 ⋅ 2 1，，只需证:ln1 + ln2 0  ，从而可得 ， 1 −2 1 −2 1 +2 2( 1−1) 进而可得ln 1 2 ，令 = 1 ，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出. 1 2 +1 2