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PAGE PAGE 41 第一讲 行列式 （一）基本内容 1.逆序数； 2.阶行列式的定义； 3.行列式的性质： 1）行列式与其转置行列式相等； 2）对调行列式的两行（列），行列式的值只改变符号； 3）行列式某行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面； 4）行列式中若有两行（列）完全相同，或有一行（列）的元素全为零，或有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零； 5） 6) 把行列式某行（列） 的元素同乘以一数加到另一行（列）的对应元素上后，行列式的值不变. 4.行列式的展开定理： 1）行列式D等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 或 2）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 或 5.克莱姆法则； 6.若n元齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式. （二）综合举例 例1 计算 解 先提取第1，2，3行的公因式，再提第1，2，3列的公因式，得到 例2 已知1998，2196，2394，1800都能被18整除，不计算行列式的值，证明下行列式能被18整除： 证法1 因为合数，且的第3，4两列分别可被9，2所整除，由行列式性质，可被18整除. 证法2 将的第1，2，3列分别乘以且都加到第4列，得到 因上行列式第4列能被18整除，故能被18整除. 例3 计算n阶行列式 1） 2） 解 1）将其它各列统统加到第1列，并提出公因式得 再将第1行的（-1）倍分别加到其它各行得 2）由 1）得 例4 计算行列式 解 从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，可得 从第1列开始，每列加到后1列，得 例5 计算行列式 解 按第1行展开得 即 ； 所以 例11 . 答 若令那么为一个范德蒙行列式，所以 （1） 但是中的系数的相反数，由（1）式知中关于的系数为 故 例6 已知方程组 讨论取何值时方程组有惟一解？并求其惟一解. 解 用克莱姆法则，方程组的系数行列式 所以当时，方程组有惟一解.且有 且方程组有惟一解为即 （三）模拟试题 1. 设行列式则第四行各元素余子式之和的值为 . 答 28． 以表示的代数余子式，则 2. 若都是四维列向量，且四阶行列式 则四阶行列式等于（ ） （A） （B） （C） （D） 答 （C）. 由行列式的性质，可得 故选（C）. 3. 已知实矩阵满足条件； 1）其中是的代数余子式；2） 计算行列式 解 因为所以于是 由 两边取行列式，得从而或由可知 故 4. 设 其中则线性方程组的解是 ； 答 方程组的系数行列式，（范德蒙行列式），故有惟一解.按克莱姆法则， 其中是以向量代替的第列所得的行列式.由行列式的性质得因而解为 5. 设均为阶矩阵，则 ； 答 由得所以 6. 设均为三维微量 ，记三阶矩阵 如果，那么 答 第二讲 矩 阵 （一）基本内容 1. 矩阵的概念: 由个数排成的行、列的矩形数表 称为矩阵，简记为或，其中称为的第行第列的元素.当时，称为n阶方阵. 当两个矩阵的行列数相等时，称它们为同型矩阵. 2．矩阵的运算： 1）矩阵的相等：设为同型矩阵，若 则称矩阵与矩阵相等，记为； 2）矩阵加法：设为同型矩阵，若 ，其中 称为矩阵与的和； 3）矩阵的数量乘法：设，为常数，定义 为数与矩阵的数量乘法，简称数乘； 特别地，称矩阵的加法与数乘运算为矩阵的线性运算. 4）矩阵乘法：设，定义 ，其中 为矩阵与的乘积，简记为； 3.特殊矩阵： 主要有零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上（或下）三角矩阵、数量矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、初等矩阵等. 4. 矩阵的转置： 将矩阵的行列互换，得到一个新矩阵，称为的转置矩阵，记为或.若时，称为对称阵. 5. 分块矩阵： 将矩阵用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块，以这些子块为元素组成的（形式上的）矩阵称为矩阵的分块矩阵. 对于矩阵的行列数较大时，可采用矩阵的分块方式，把矩阵的子块作为元素进行相应的运算，使运算简单化. 6. 逆矩阵的概念 ： 1）设为n阶方阵，若存在n阶方阵，使得，则称方阵为可逆方阵，并称为方阵的逆矩阵，记为. 2）方阵可逆的充分必要条件为，且有，其中为方阵的伴随矩阵. 3）设为阶方阵，若，则称为奇异矩阵，否则称为非奇