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湖北高三数学中档题训练4
江陵县实验高中高三数学中档题专项训练(7)
1. 阅读下面材料:(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 根据两角和与差的正弦公式,有
sin(???)?sin?cos??cos?sin?------①
sin(???)?sin?cos??cos?sin?------②
由①+② 得sin??????sin??????2sin?cos?------③ 令????A,????B 有??代入③得 sinA?sinB?2sinA?B,??A?B22A?B22A?B2
cosA?B. (Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两
sinA?B2角和与差的余弦公式,证明:cosA?cosB??2sin;
(Ⅱ)若?ABC的三个内角A,B,C满足cos2A?cos2B?1?cos2C,试判断?ABC的形状.
2如图,四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形,AB//CD,AB?AD,?PAB和?PAD是
两个边长为2的正三角形,DC?4,O为BD的中点,E为PA的中点. P (Ⅰ)求证:PO?平面ABCD; (Ⅱ)求证:OE//平面PDC;
E (Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
AB O D
C3 已知F1(?1,0),F2(1,0)为平面内的两个定点,动点P满足PF1?PF2?22,记点P的轨迹为曲线?.(Ⅰ)求曲线?的方程;(Ⅱ)设点O为坐标原点,点A,B,C是曲线??????????????上的不同三点,且OA?OB?OC?0.(ⅰ)试探究:直线AB与OC的斜率之积是否为
定值?证明你的结论;(ⅱ)当直线AB过点F1时,求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积.
4.设函数f(x)的图象是由函数g(x)?cosx?变换得到:(1)将函数g(x)的图象向右平移坐标不变),得到函数h(x)的图象;
1(2)将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0?m?)倍(横坐标不变),
223sinxcosx?12的图象经下列两个步骤
?12个单位,并将横坐标伸长到原来的2倍(纵
并将图象向上平移1个单位,得到函数f(x)的图象.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)判断方程f(x)?x的实根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)设数列{an}满足a1?0,an?1?f(an),试探究数列{an}的单调性,并加以证明.
1解法一:(Ⅰ)证明:因为cos(???)?cos?cos??sin?sin?,------①
cos?(???)co?sc?o?s?sin,?------②…………………2分
①-② 得cos(???)?cos(???)??2sin?sin?.------③……3分 令????A,????B有??代入③得cosA?cosB??2sinA?B2A?B2,??sinA?B2A?B2,
.………6分
(Ⅱ)由二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为
1?2si2nA??12sBin?2?1?12sinA?sinC?sinB.10分 2C,9si分所以n222设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理可得a2?c2?b2.………12分
根据勾股定理的逆定理知?ABC为直角三角形.…3分 解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为
nA?B? ?2si?s?inA?B???1?122sCin,………8分
因为A,B,C为?ABC的内角,所以A?B?C??,
所以?sin?A?B?sin?A?B??sin2?A?B?.
又因为0?A?B??,所以sin?A?B??0,所以sin?A?B??sin?A?B??0. 从而2sinAcosB?0.……10分又sinA?0,所以cosB?0,故?B?所以?ABC为直角三角形. …13分
2(Ⅰ)证明:设F为DC的中点,连接BF,则DF?AB
∵AB?AD,AB?AD,AB//DC,∴四边形ABFD为正方形, ∵O为BD的中点,∴O为AF,BD的交点, ∵PD?PB?2, PO?BD, ∵BD?∴PO?AD?AB22
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