真分式部分分式分解.ppt

解:因为分母含有(x-1)的三重因式,所以设 x+1A B C D x(x-1) (x-1)(x 等式右边通分后得A(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x-1+D x(x-1)3 比较等式两边分子各项的系数得 A+B 解得:/A 3A-2B+C=0 B=2 3A+B-C+D=0 C=1 A= D=2 则x 2 x( X (x-1)(x-1)  5.9简单的微分方程 含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数 是一元函数的导数,则称为常微分方程。 微分方程的阶数:微分方程中所含未知函数的导 数的最高阶数。 微分方程的次数:微分方程中所含有的各项中未 知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。 一次微分方程称为线性微分方程。 由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原 函数称为微分方程的解。 含有任意常数的微分方程的解称为通解,不含有 任意常数的微分方程的解称为特解  一阶微分方程的解法] 两边积分法 形如y′=f(x)的微分方程可用两边积分的方法直 接求出微分方程的解 例5.44求经过点(3,10),并且在每一点P(x,y)处 的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。 dy 解:设曲线方程为y=f(x),由题意得y=a=x 初始条件为yx3=10 两边积分得y∫xk=+C 代入初始条件得10=9+C,C=1 故所求曲线为y≈3  可分离变量的微分方程 先把y写成的形式,如微分方程可化为 g(y)dy=f(x)dx,则两边积分就可求得通解为 G(y)=F(x)+C 例如:解微分方程y’=y2+xy2 解:原方程即=y2(1+x) 可变形为1d=(1+xk 两边积分得-=x+x2+C  第六章定积分 6.1定积分的概念与性质 1.定积分的概念 y=f(x) 求曲边梯形的面积 在直角坐标系中,设有曲线y=f(x)|x=ax+b 我们不妨假定f(x)≥0,求y=f(x)、 x=a、x=b和X轴所围成的曲边梯形的面积。 我们可以在[a,b中任意插入n-1个分点把[a,b] 分成n个小区间x1-1,x1,其长度△x:=x1x1-1,在 每一个小区间内任取一点ξ1,用长为f()宽为△x 的矩形面积代替小曲边梯形面积△S;,则曲边梯形面 积为这些矩形面积的和当n→∞时的极限。  例6.1求由曲线y=x2,X轴(即直线y=0)和直线x=1 所围成的图形的面积 (1)分割:在[0,1]之间插入n-1个 分点,每一段记作△x,则△x1=, 把梯形分成n个小曲边梯形,它们的 面积为△S (2)替代:在△x:中任取一点ξ(例如左端点),用 矩形面积代替小曲边梯形面积△S:≈f(1)△:mn (3)作和式:Sn=∑f(Ax=∑ n(n-1)(2n-1) (1--)(2-- (4)求极限:当n→∞时,S=lmSn=im(1-)(2-)=  由此可见,求曲边梯形的面积问题可以通过分割、 替代、作和式、求极限四个步骤,最终归结为求和式 n的极限问题。 定积分的概念 设函数f(x)在[a,b]上有定义,在[a,b]中任意插 入n=1个分点,a=x1x2≤…xn≤xn1=b,把[a,b] 分成n个小区间[x1,x1],每一段的长度记作△x 在每一个小区间内取一点51,作和式S )△ 若当n→∞时和式S的极限存在,则称此极限值为f(x) 在[a,b]上的定积分记作 其中a叫做积分下限,与面积分腿圜石面 积分区间,f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积式, x叫做积分变量  [说明] 1.曲边梯形的面积是函数y=f(x)在[a,b]上的定 积分。其中X轴上方的面积为正,X轴下方的面 积为负。 2如果定积分存在,那么对[a,b所作的分割是 任意的,每一个小区间内ξ的取法也是任意 的,当n→∞时,S的极限都相同 [定理6.1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在 a,b]上的定积分r(xhx存在 函数f(x)在[b上的定积分广f(xM在又称 为函数f(x)在[a,b]上可积。  2.定积分的性质 定积分有下列三条主要性质 (1)被积函数的常数因子可以提到积分号的前面, 即∫k()dx=k(xdx,(为常数) 例如,[3xdx=3[x2dx (2)两个函数的和(或差)在区间[a,b上的定积分等 于这两个函数在区间[a,b]上的定积分的和(或差), 即[()=r(xd门g(xd 例如,「(3x3+2x)dx=「3x2dx+「2xdx  (3)如果将区间[a,b分成区间[a,c]和[c,b],即 a≤c≤b,那么∫f(xok=rx)dx+