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年全国高中数学联合竞赛初赛
新疆赛区高一年级考试试卷
二 合计
题号 一
1 2 3
得分
评卷人
复核人
注注注意意意事事事项项项
1. 本试卷共二大题, 全卷满分120分.
2. 用圆珠笔或钢笔作答, 解题书写不要超出装订线.
3. 不能使用计算器. 请关闭手机(手机开机, 按作弊处理).
一一一、、、填填填空空空题题题
(本大题共8小题, 每小题8分, 共64分. 把答案填在横线上.)
1. (2014) 的个位数是a a a a a a a a a a a.
解解解 用g (n)来表示一个自然数n 的个位数. 则有
g ((2014) ) = g ((201 × 10 + 4) ) = g (4 ) = g ((4 ) × 4)
= g ((10 + 6) × 4) = g (6 × 4) = g (g (6) × g (4))
= g (6 × 4) = 4.
从而, (2014) 的个位数是4.
2
2. 设P 为函数f (x) = x + (x 0)的图像上任意一点, 过点P 分别向x轴, y轴引
x
垂线, 垂足分别为A, B . 则|P A| + |P B |的最小值为a a a a a a a a a a a.
2
解解解 设P (x, y)为函数f (x) = x + (x 0) 上任意一点, 依题意知,
x
2
|P A| = |y | = y , |P B | = |x | = x, 其中y = x + (x 0).
x
故有|P A| + |P B | = y + x = 2(x + 1 ) ≥ 2 · 2√x · 1 = 4, 等号成立当且仅
x x
1
当x = . 由于x 0, 所以x = 1时上述不等式取等号.
x
因此, 当且仅当x = 1时|P A| + |P B |有最小值4.
3. 已知n为正整数, 则lg 12, lg 75, lg(n −16n+947)这三个数能构成 个
不同的三角形.
解解解 由三角不等式可得,
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lg(n − 16n + 947) lg 75 + lg 12, 并且lg(n − 16n + 947) lg 75 − lg 12.
75
从而有 n − 16n + 947 900. 由于n 为整数, 则n − 16n + 947也为整数,
12
从而7 ≤ n − 16n + 947 ≤ 899, 即4 ≤ n ≤ 12. 所以, n 的取值可以为4, 5, 6, 7,
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