北京大学概率论期末试题解答.pdfVIP

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北京大学概率论期末试题解答——白朗 注:带 号的题参见下一页米神的解答. 几几几道道道概概概率率率考考考题题题的的的解解解题题题分分分析析析 小米 题题题 某赌庄有 资产元 。另有一赌徒拥有无穷大的赌资 ,试 图使该赌庄破产 。他每次押 注元 , 每次赢钱的概率为 ,而输钱的概率为 ,试 问该赌徒 能使赌庄破产的概率为多大? 分分分析析析 ::: 我们 可 以用 上的随机 游走模型来描述这个赌徒 问题 :设 为 的随机 变量 ,满足 , 。定义 ,即 代表 第次押 注后赌庄 的 资产 (以为单位), 或对应 第次赌庄赢钱 或输钱 ,事件 表示赌庄 资产清零 。 我们 需要求 ( )在 时的值 。 这里 是一个很 关键 的条件 。若 ,由强大数定律 ,以概 率 , ,也就是说赌庄必定 (以概 率)会输钱 。若 ,赌庄依 旧会 以概 率破产 ,但 需要 更精细的分析 (即一维简单随机游动的常返性) 。这里我们的条件是 ,此时赌庄破产的概率应该严格 小于 。 对这类问题一般有 两种方法 :列方程联立求解与构 鞅 。 第一种方法是将所有的初始 条件综合来考虑 。令 。因为等号右边确 实是一个可 测事件的概 率 。考虑 第一次押 注的两种可能,由全概 率公 式及马氏性 ,我们得 到 满足的一个线性方 程组 : 式 是一个无穷维的线性方程组 ,直接并不太好解 。稍加 变形为 ,我们得 到一 个二 阶常线性 线性递推数列 。易知其通解可 以表 示为 。我们 只 需要想办法确 定常 数 、 。 确定两个常数需要两个条件 ;很 自然地 ,我们期望从两个边界 条件 与 定 出 与 。 由定义 ,这给 出了其 中一个边界 条件 。难 点在于如何确定 。直觉上, ;若这 个成立 ,则 。下面我们证 明就来这一点 。 在 无穷情形 ,我们缺乏先验 的边界 条件 ,解决这个 困难我们 需要从有限的情形逼近 无限的情形 。让 我们 引入如下停 时 : , 。 由定义知 , 故 ,因此事件列 随 单调增加到 ,由概率测度的连续性我们有

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