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凹凸函数与Jensen不等式(Jensen Inequality )
i :凹凸函数的定义
设函数f (x)为定义在区间(a,b)的函数
(1)若对x ,x (a,b)且x x ,有:
1 2 1 2
x x f (x )f (x )
f ( 1 2 ) 1 2
2 2
则称f (x)在(a,b)上为凸函数.
(2)若对x ,x (a,b)且x x ,有:
1 2 1 2
x x f (x )f (x )
f ( 1 2 ) 1 2
2 2
则称f (x)在(a,b)上为凹函数.
ii :判定定理
若f (x)在a,b 上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,
若在(a,b)内,
(1)f (x) 0,则f (x)在a,b 上为凹函数
(2)f (x) 0,则f (x)在a,b 上为凸函数
iii :Jensen不等式
(1)若f (x)在a,b 上为凸函数,则对x ,x ,x ,,x a,b
1 2 3 n
n
xi 1 n
有不等式:f (i 1 ) f (x )
i
n n i 1
当且仅当x x x x 时,等号成立
1 2 3 n
(2)若f (x)在a,b 上为凹函数,则对x ,x ,x ,,x a,b
1 2 3 n
n
xi 1 n
有不等式:f (i 1 ) f (x )
i
n n i 1
当且仅当x x x x 时,等号成立
1 2 3 n
Jensen不等式(Jensen Inequality )的应用
Jensen不等式需要先构造函数再与凹凸函数的性质结合使用,
判断一个函数在(a,b)上是否为凹函数或凸函数,再利用Jensen不等式进行解题。
例如:已知a,b,c R ,且a b c 4,求 a b c的最大值.
4
显然,当a b c 时,a b c取到最大值.
3
这里给出关于这道题的Jensen不等式解法:
设函数f (x) x,x (0,),则f (x)在(0,)上为凸函数.
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