空间向量及其运算[共25页].ppt免费

空间向量及其运算;1．空间共线向量 (1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量为共线向量或平行向量． (2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 .;(3)共线向量定理的推论 ①对于空间任一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在 实数t，使OP＝(1－t)OA＋tOB 或 OP＝xOA＋yOB (其中x＋ y＝1)． ②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在??数t， 满足关系式 . 其中非零向量 a 叫直线l的方向向量;2．空间共面向量 (1)共面向量 把 的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使 .;(3)推论 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实 数对x，y，使MP＝ ，或对空间任一定点O， 有OP＝ ①，我们称①式为平面MAB 的向量表示式． ;[思考探究] 向量AB∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？ ;3．空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 .;4.空间向量的数量积及运算律 ;1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做 ．x轴，y轴，z轴统称 ．由坐标轴确定的平面叫做 ．;2．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝ . (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b为非零向量)．;11;题型一 空间向量的线性运算;解 （1）∵P是C1D1的中点， ;; 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.;空间向量坐标及坐标运算 （365p158页）例1 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算 2a+3b, 3a-2b, a·b 以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件， 使λa+μb与z轴垂直. 解 2a+3b=2×（3，5，-4）+3×（2，1，8） =（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）. 3a-2b=3×（3，5，-4）-2×（2，1，8） =（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）. a·b=（3，5，-4）·（2，1，8） = 6+5-32 = -21.;（λa+μb）·（0，0，1） =（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）·（0，0，1） =-4λ+8μ=0，即λ=2μ， ∴当λ，μ满足λ=2μ时，可使λa+μb与z轴垂直.;探究2;又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥面PAC，CD?面PCD， ∴面PAC⊥面PCD. 6分;(2)分别以AB、AD、AP为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令P(0,0,1)，C(1,1,0),D(0,2,0)， ;∴E是PD的中点， ∴存在E点使CE∥面PAB， 此时E为PD的中点． 12分;（365p158页）例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （Ⅰ）证明PA//平面EDB； （Ⅱ）证明PB⊥平面E