昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案.docVIP

线性代数练习册 班级 姓名 学号 任课教师 PAGE PAGE 11 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A，AX=0有非零解；仅有零解 （1） ； 解： 仅有零解。 （2） . 分析：n元齐次线性方程组有非零解；仅有零解 解：，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组的一个基础解系。 解： 所以原方程组等价于（可取任意实数） 原方程组的通解为（） 改写为（） 因此齐次线性方程组的基础解系为 三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且 ，, 求该方程组的通解。 解：由于矩阵的秩为3，n-r=4-3=1，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量， 且由于均为非齐次线性方程组的解，由解的性质得 ，为齐次线性方程组的基础解系， 故此非齐次线性方程组的通解：， 四、设是方程组的一个基础解系，证明：向量组也是的一个基础解系. 解：是方程组的一个基础解系，所以的任意三个线性无关解向量的都是它的基础解系；且是方程组的线性无关解向量组。 由齐次线性方程组的解的性质得也是的解。 设得， 由（P64）定理8知线性无关。 因此，向量组也是的一个基础解系。 五、设是非齐次线性方程组的一个解，，…，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系（），证明： （1），，…，线性无关；（2）,，…，线性无关. 证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1) 其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。 由于为特解，为基础解系，故得 而由(1)式可得 故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 产生矛盾,假设不成立, 故线性无关. (2)反证法,假使线性相关. 则存在着不全为零的数使得下式成立: （2） 即 若,由于是线性无关的一组基础解系, 故,由(2)式得此时与假设矛盾. 若由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾, 综上,假设不成立,原命题得证. 习题4.2（用初等变换解线性方程组解） 一、求齐次线性方程组的基础解系. 解： 所以原方程组等价于（可取任意实数） 原方程组的通解为（）即（） 因此齐次线性方程组的基础解系为 二、求下列非齐次线性方程组的通解。 解： 所以原方程组等价于（可取任意实数） 原方程组的通解为，即（）。 三、写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解： 四、确定a、b的值使下列线性方程组有解，并求其通解. （1）； 分析：设为矩阵，则元非齐次线性方程组无解. 定理4. 元非齐次线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为= . 推论：元非齐次线性方程组有唯一解充的分必要条件为==. 解法一： 当 a ≠1, -2 时，R (A) = R(A，b)=3，方程组有唯一解. 当 a = -2 时，R (A) =2≠3= R(A，b)，方程组无解. 当 a = 1时，R (A) =R(A，b)=13，方程组有无穷多解. 此时， 原方程组的通解为，即（）。 解法二：　(1)　，即时方程组有唯一解. (2)， 由得时，方程组无解. (3)，由,得时,方程组有无穷多个解. （2）. 解： a≠1，b≠-1时，R (A) =2≠4= R(A，b)，方程组无解. a=1，b=-1时，R (A) =2= R(A，b)，方程组有无穷多解. 此时 所以原方程组等价于（可取任意实数） 原方程组的通解为，即（）。 第四章验收测试题 一、填空题（每小题5分，共40分） 1.设为阶方阵，且与阶单位阵等价，则方程组的解的个数为 1 . 分析：n 阶方阵A，AX=b只有一个解 解：AX=b只有一个解 2.已知，均为阶方阵，||=1，||=2，那么的非零解的个数等于 0 . 分析：n 阶方阵A，AX=0只有一个解（即只有零解） 解：，均为阶方阵为阶方阵，只有零解 3．齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是 ． 解： 4. x = 0 . 解：AX=0只有一个解，即零解 5．线性方程组有解的充要条件是 . 分析：设为矩阵，则元非齐次线性方程组有解. 解： 6．设均为阶方阵,只有一个解，的行秩为3，则的列秩等于 . 分析：n 阶方阵A，AX=b只有一个解 A的列向量组的秩=A的行向量组的秩 A为可逆矩阵 解：AX=b只有一个解，所以A可逆，的列秩 7．设是3阶方阵，