实变函数集合标准答案.pptx

第一章 集合 一、內容小结 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入 了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别 是德摩根公式。 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定 理。 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式 上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等 式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。条件 为 A,B 不交。 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数 A 去掉可数B 后若还无限则C 必可数。 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法 肯定方面与否定方面。 X ? B,与X ? B 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其 中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯 坦定理）来进行相应的证明。 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算 得到可数、第四节定理 6. 证明集合基数为 C 中常用到已知的基数为 C 的集合。 Rn , E? 三、习题解答 1. 证明： A ?(B ? C) ? (A ? B) ?(A ? C) 证明 设x ? A ? (B ? C).若x ? A,则 x ? A ? B ,得 x ?(A ? B) ?(A ? C). 若 设x ? B ? C,则同样有 x ? A ? B 且 x ? A ? C ， 得 x ?(A ? B) ?(A ? C). 因此 A ?(B ? C) ? (A ? B) ?(A ? C) 设 x ?(A ? B) ?(A ? C) .若x ? A,则当然有 x ?(A ? B) ?(A ? C)，若 .x ? A, 由 x ? A ? B 且 x ? A ? C ，可知.若x ? B 且.x ? c ，所以 x ? B ? C, 同 样有 x ? A ?(B ? C). 因此(A ? B) ?(A ? C) ? A ?(B ? C) ， 所以 A ?(B ? C) ? (A ? B) ?(A ? C) 2. 证明;⑴ A ? B ? A ? (A ? B) ? (A ? B) ? B ⑵ A ?(B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C) ⑶ (A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ⑷ A ?(B ? C) ? (A ? B) ?(A ? C) ⑸ (A ? B) ?(C ? D) ? (A ? C) ? (B ? D) ⑹ A ? (A ? B) ? A ? B. 证明 ⑴ A ? ( A ? B) ? A ? Cs ( A ? B) ? A ? (Cs A ? Cs B) ? ( A ? Cs A) ? ?A ? Cs B? ? A ? B. ( A ? B) ? B ? ( A ? B) ? Cs B = ( A ? Cs B) ? (B ? Cs B) ? A ? B ⑵ ( A ? B) ? ( A ? C) ? ( A ? B) ? Cs ( A ? C) ? ( A ? B) ? (Cs A ? Cs C) ? ( A ? B ? (Cs A) ? ( A ? B ? (Cs C) ? A ? (B ? (Cs C) ? A ? (B ? C). ⑶ ( A ? B) ? C ? ( A ? Cs B) ? Cs C ? A ? Cs (B ? C) ? A ? (B ? C) ⑷ A ? (B ? C) ? A ? (B ? Cs C) ? A ? Cs (B ? Cs C) ? A ? (Cs B ? C) ? ( A ? Cs B) ? ( A ? C) ? ( A ? B) ? ( A ? C). ⑸;3;⑵ ( ? A? ) ? B ? ( ? A? ) ? Cs B ? ?( A? ? Cs B) ? ?(A? ? B) . ??? ??? ??? ???;证明 设 x ? lim An 则 存 在 N ， 使 对 任 意 n ? N ，有 x ? An ， 所 以 n?? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? Am ? ?? Am ，所以lim An ? ?? Am ；设 x ??? Am ，则有 n ，使 m?n?1 n?1 m?n n?? n?1 m?n n?1 m?n ? ? ? x ? ? Am ，即对任意m ? n ，有 x ? An ，所以 x ? lim An ，因此lim An ? ?? Am