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§3.1 勾股定理
【知识点梳理】
一、格点图形的面积
在方格纸(每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形)中,我们把每个小正方形
的顶点称为格点,以格点为顶点的图形称为格点图形 .利用网格可以求出格点图形的面积
例 1:如图,方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形,我们把以格点连线为边的多边形
称为“格点多边形” .图中的四边形 ABCD 就是一个“格点多边形”,求四边形 ABCD
积.
.
的面
二、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .若把直角三角形的两条直角边和斜边
分别记为 a、b、 c (如图 3.1.1 ),则 a 2 b 2 c 2
例 2:在 Rt △ ABC中,∠ C=90° . ( 1)如果 AC=3,BC=4,那么 AB=
(2) 如果 AB=25, BC=24,那么 AC=
三、勾股定理的验证
勾股定理的推导方法有很多种,到目前为止,能够验证勾股定理的方法有近
500 种. 课
本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系,
既具有严密性,又具有直观性 .
例 3:如图,分别以边长分别为
a、 b、 c ( c 为斜边)的直角三角形的
3 边为边向外作三
个正方形拼成如图所示的图形,是利用面积知识验证勾股定理
.
四、勾股定理的应用
勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系,
边的长度就可以求出第三条边的长度 .
例 4:如图,滆湖有 A 、 B 两点,从与 BA 方向成直角的
米, CB=12 米,求 AB 长 .
只要知道直角三角形中任意两条
BC 方向上的点 C 处测得 CA=13
【典例展示】
题型一 格点图形中的距离问题
例 1:如图,每个小方格的边长为
1,A、B 、C
都在小方格的顶点上,则点
B 到
AC
所在直
线的距离为
题型二 运用勾股定理求直角三角形的边长
例 2:如图,在 Rt△ ABC中,∠ C=90° .AD 平分∠ CAB,DE⊥ AB于点 E,若 AC=6, BC=8,求:(1) DE的长;( 2)△ ADB的面积 .
题型三 折纸中勾股定理的运用
例 3:如图,四边形 ABCD是一张边长为 9 的正方形,将其沿
的点 B′处,点 A 对应点为 A′,且 B′ C=3,则 AM的长是(
A .1.5 B .2 C .2.25 D .2.5
MN折叠,使点
)
B 落在边
CD上
题型四 运用勾股定理进行说理
例 4:如图,在△ ABC中,∠ ABC=45°, CD⊥ AB, BE⊥ AC,垂足分别为D、 E, F 为 BC的中点, BE 与 DF、 DC分别交于点 G, H,∠ ABE=∠ CBE.
1)线段 BH与 AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;
2)求证: BG2-GE2=EA2.
题型五 探索规律
例 5:如图, OP=1,过点 P 作 PP1⊥OP且 PP1=1,得 OP= 2 ;再过点 P1 作 P1P2⊥ OP1 且 P1P2=1,
连接 OP,得 OP=
3
;又过点 P 作 P P⊥OP且 PP =1,得 OP=
4
;
2
2
2
2
3
2
2
3
3
依此法继续作下去,得 OP
=
.
2014
题型六
运用方程思想解题
例 6: 一个直角三角形的一条直角边长为
5cm,另一条直角边比斜
边短 1cm。求它的斜边长。
题型七 分类讨论题
例 7:在△ ABC中, AB=15, AC=13,高 AD=12,求△ ABC的周长 .
【误区警示】
误点 1 不能用图形面积表示代数式之间的数量关系,导致出现错误
例 1 :如图是由四个相同的直角三角尺拼接成的图形,设三角尺的直角边长分别为
a、 b ( a> b) ,则这两个图形能验证的等式是(
)
A . ( a+b ) 2 -( a-b ) 2 =4ab
B . ( a2 +b 2) -( a-b ) 2
=2ab
C. ( a+b ) 2 -2ab=a 2 +b 2
D . ( a+b )( a-b ) =a2
-b 2
误点 2 不能正确把握勾股定理的内涵,导致出现错误
例 2:已知 Rt △ ABC的两边长为
3、 4,求第三边长的平方 .
§3.2 勾股定理的逆定理
【知识点总结】
一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a 2 b 2 c 2 ,那么这个三角形是直角三角形 .
例 1:如图,判断图中的三角形是否是直角三角形?为什么?
二、勾股数
满足关系 a 2
b 2 c 2 的 3 个正整数 a 、 b 、 c 称为勾股数 . 利用勾股数可以构造直角三角形.
例 2:分别以下列四组数为一个三角
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