第二章 非线性方程的数值解法(1).pptVIP

第二章非线性方程的数值解法 本章主要内容： 1、二分法 2、简单迭代法（重点） 3、牛顿迭代法（重点） 4、割线法 本章难点： 分析迭代法的收敛性 历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。 本章解决一元函数方程 的求根问题。 否则称其为超越方程，如 当 为多项式函数时，称此方程为代数方程，如 若函数 可表示成 ( 2.1 ) 则称 是方程 ( 2.1 ) 的 重根。 根的存在性 连续函数介值定理 则这样的 在 内唯一。 a b x* 若函数 在 上连续，且 则至少有一个数 ，使得 ，若 还单调， 定理： 方程 f (x) = 0 的有根区间的确定 有根区间：方程在这样的区间内有且只有一个实根。 1. 描图法 将方程 f (x) = 0 化为 g (x) = h (x) 的形式，画出 g (x) 和h (x) 的简图，从两条曲线的交点的横坐标的位置 例2.1 求方程 3x – 1 – cos x = 0 的有根区间。 解：用描图法，将方程变形为 令 g (x) = 3x - 1, h (x) = cos x, 做出两个函数的简图 确定有根区间。 注：g (x) 和 h (x) 的图形比较容易作出。 由图可知，方程仅有一个实根，有根区间为 2. 通过研究函数性态判断有根区间 例2.2 求函数 的有根区间。 解： 令 , 并对其求导数得 单调减少的。 所以函数 在 上是 又 根据连续函数介值定理， 方程 在 内有且仅有一个实根。 所以 是方程 的有根区间。 2.1 二分法 若 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f (a) · f (b) 0， 以此类推 上至少有一实根。 则 f (x) 在 (a, b) 原理： 基本思想： 逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符 号，进一步有哪些信誉好的足球投注网站有根区间，将有根区间缩小到充分小， 从而求出满足精度的根的近似。 二分法的实施步骤： （1）找出方程 的有根区间 。 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进 （3）判断：若 则 是方程的根, (a) 若 , 则根属于 ，置： 行下去。 计算结束；否则： (b) 若 , 则根属于 ，置： 注：上述过程中 常取做机器零，当小于此数时认为是零！ （2）计算 f (x) 在区间中点 的值 ； 如 。 误差分析：什么时候停止计算？ 按上述过程反复进行, 可得一系列有根区间套 当 n→∞ 时, 区间长度趋近于零，因此区间必将最终收缩为 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间 的长度 一点 , 显然 就是所求的根。 若取区间 的中点 作为 的近似值， 则 ，从而有下述误差估计式 只要 根据误差估计式，对于预先给定的精度 ， 即 可由此确定 最大对分次数 便有： 因此， 就是满足精度要求的近似解。 二分法算法实现 问题：给定区间[a, b] ，求 f (x)=0 在该区间上的根 x. 输入: a 和 b; 容许误差 TOL; 最大对分次数 Nmax. 输出: 近似根 x. Step 1 令 k = 1; Step 2 计算 x = (a+b)/2 和 y = f (x) Step 3 若 k ? Nmax，做 Steps 4-6 Step 4 若 | y | TOL , 停止; 输出 x. Step 5 若 y * f (a)